Programming for Real-World

  📘 Proportionality — 영어식 ‘비례 관계’의 진짜 의미 우리가 수학 시간에 흔히 배우는 “비례 관계(proportionality)”는 한국어나 일본어로는 보통 **‘비례한다(比例する)’**라고 번역됩니다. 그런데 이 번역은 영어권 수학자가 실제로 생각하는 proportionality의 핵심 개념 과는 미묘하게 다릅니다. 🔹 1. 영어식 정의 영어로 **“y is proportional to x”**라고 하면, 그 의미는 **“y가 항상 x의 일정한 상수배이다”**입니다. 즉, 어떤 상수 k k 가 존재해서 y = k x y = kx 가 성립할 때, 우리는 “y is proportional to x”라고 말합니다. 이때의 k k 를 constant of proportionality (비례 상수) 라고 부릅니다. 👉 영어식 proportionality = 정확한 상수배 관계 🔹 2. 예시로 보는 영어식 사고 “The distance traveled is proportional to time when speed is constant.” 이 문장은 단순히 “시간이 늘면 거리도 늘어난다”는 뜻이 아닙니다. 정확히는, d = v t d = vt 라는 함수적 관계(functional relationship) 를 말합니다. 즉, 속도 v v 가 일정할 때, 거리는 시간의 정확한 상수배로 증가합니다. 이게 바로 영어에서 말하는 proportional relationship 이에요. 🔹 3. 한국식 “비례 관계”와의 차이 구분 한국식/일본식 “비례 관계” 영어식 “proportionality” 의미 대략 함께 커지거나 작아지는 관계 항상 일정한 상수배로 변하는 관계 강조점 경향성 / 추세 함수적 정확성 예시 표현 “온도와 부피는 비례한다” “ V V  is proportional to T T ” ⇒ V = k T V = kT 한국식 ‘비례’는 느낌상 같이 움직이는 관계 를 의미할 때도 많...

  왜 우리는 급수가 수렴하는지 검사할까? 무한급수, 즉 무한히 많은 수를 더하는 계산을 수학에서 자주 만납니다. 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + ⋯ 1 + \frac12 + \frac14 + \frac18 + \cdots 그런데 이런 계산에서 왜 굳이 ‘수렴(convergence)’ 여부를 먼저 검사할까요? 1️⃣ 목적 1: 의미 있는 합을 얻기 위해 무한급수는 항이 끝없이 많습니다. 수렴 하면 무한히 더해도 유한한 값으로 수렴 → 계산이 의미 있음 발산 하면 값이 무한대 또는 정의 불가 → 계산 자체가 무의미 예시: 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + ⋯ = 2 1 + \frac12 + \frac14 + \frac18 + \cdots = 2 → 수렴하므로 합이 명확히 2임을 알 수 있음 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ → ∞ 1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + \cdots \to \infty → 발산하므로 합을 정의할 수 없음 즉, 수렴 검사는 무한합이 ‘정확한 값’을 가질 수 있는지 확인하는 과정 입니다. 2️⃣ 목적 2: 수학적 분석의 안정성을 확보 급수는 단순한 덧셈이 아니라, 함수, 테일러 급수, 푸리에 급수 등에서 핵심적으로 사용됩니다. 수렴하지 않는 급수를 기반으로 계산하면 → 결과가 틀리거나 무의미해짐 수렴 여부를 먼저 확인하면 → 안전하게 값을 계산할 수 있음 즉, 급수가 안정적인 값으로 수렴하는지 확인 하는 것이 필수입니다. 3️⃣ 목적 3: 모델링과 현실 적용 물리, 통계, 경제 등 실제 응용에서 무한합 모델을 사용한다고 합시다. 합이 유한하면 → 현실적인 값으로 모델 사용 가능 합이 발산하면 → 모델 자체가 불안정하거나 적용 불가 예시: 금융 모델에서 무한 할인된 현금흐름 → 할인율이 적절하면 합이 수렴 물리학에서 무한급수로 표현한 파동함수 → 합이 수렴해야 물리적 의미 존재 🔑 결론 ...

  무한히 더하지 않고도 급수의 수렴을 판단하는 방법 수학에서 무한급수(無限級數)는 끝없이 이어지는 항들을 더한 것을 의미합니다. 그런데 문제는, 우리는 실제로 무한히 더할 수 없다는 것이죠. 그렇다면 어떻게 “수렴(합이 있음)”인지, 아니면 “발산(합이 없음)”인지를 판별할 수 있을까요? 이럴 때 사용하는 것이 바로 급수의 수렴 판정법(convergence tests) 입니다. 1. 항의 극한 조건 (필수 조건) lim ⁡ n → ∞ a n = 0 \lim_{n \to \infty} a_n = 0 급수가 수렴하려면 항 a n a_n ​ 이 반드시 0으로 가야 합니다. 만약 항이 0으로 가지 않으면, 무조건 발산합니다. 예시: ∑ 1 \sum 1 , ∑ n \sum n  → 항이 0으로 안 가므로 발산. 단, a n → 0 a_n \to 0 이라고 해서 반드시 수렴하는 것은 아닙니다. (예: 조화급수 ∑ 1 n \sum \frac{1}{n} ​ 은 발산) 2. 비교 판정법 (Comparison Test) 서로 비교 가능한 급수의 성질을 이용합니다. 0 ≤ a n ≤ b n 0 \leq a_n \leq b_n ​ 이고 ∑ b n \sum b_n ​ 이 수렴 → ∑ a n \sum a_n ​ 도 수렴 반대로 ∑ a n \sum a_n 이 발산하고 a n ≤ b n a_n \leq b_n ​ → ∑ b n \sum b_n ​ 도 발산 예시: ∑ 1 n 2 ≤ ∑ 1 n \sum \frac{1}{n^2} \leq \sum \frac{1}{n} ​ . 조화급수 ∑ 1 n \sum \frac{1}{n} 은 발산 → 따라서 ∑ 1 n 2 \sum \frac{1}{n^2} ​ 는 비교해서 별도 확인 필요 (적분 판정법으로 확인 시 수렴) 3. 비율 판정법 (Ratio Test) L = lim ⁡ n → ∞ ∣ a n + 1 a n ∣ L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{...

  기하급수와 합: 수렴급수만 가능한 이유 수학에서 기하급수 (geometric series)는 각 항이 일정한 비율 r r 로 증가하거나 감소하는 급수를 말합니다. a + a r + a r 2 + a r 3 + ⋯ a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots a a  : 첫 번째 항 r r  : 공비 1. 기하급수 합 공식 기하급수의 합 공식은 다음과 같습니다. S = a 1 − r , ∣ r ∣ < 1 S = \frac{a}{1-r}, \quad |r| < 1 중요 조건 : ∣ r ∣ < 1 |r| < 1 부분합이 유한한 값에 수렴 해야만 공식 적용 가능 ∣ r ∣ ≥ 1 |r| \ge 1 이면 급수는 발산 , 합 공식 적용 불가 2. 합 공식 유도 (증명) n항 합 S n S_n ​ 를 생각합니다. S n = a + a r + a r 2 + ⋯ + a r n − 1 S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} 공통인수 a a 를 묶고: S n = a ( 1 + r + r 2 + ⋯ + r n − 1 ) S_n = a(1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-1}) 이제 S n S_n 과 r S n r S_n ​ 을 빼면: S n − r S n = 1 − r n ⇒ S n = 1 − r n 1 − r S_n - r S_n = 1 - r^n \quad \Rightarrow \quad S_n = \frac{1 - r^n}{1-r} ​ 무한급수 합 : n → ∞ n \to \infty S = lim ⁡ n → ∞ S n = lim ⁡ n → ∞ a ( 1 − r n ) 1 − r S = \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} ​ ∣ r ∣ < 1 |r| < 1  → r n → 0 r^n \to 0 ...

  기하급수의 합 공식, 어떻게 유도될까? 학교 수학에서 자주 등장하는 기하급수(geometric series) . 공식만 외우고 넘어가는 경우가 많지만, 실제로는 간단한 아이디어로 유도할 수 있습니다. 1. 유한합부터 시작하기 기하급수의 n n 항 합은 다음과 같습니다. S n = a + a r + a r 2 + ⋯ + a r n − 1 S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} 여기서 a a 는 첫째항, r r 은 공비입니다. 이제 양변에 r r 을 곱해봅시다. r S n = a r + a r 2 + ⋯ + a r n − 1 + a r n rS_n = ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} + ar^n 2. 두 식을 빼기 S n − r S n = a − a r n S_n - rS_n = a - ar^n 즉, ( 1 − r ) S n = a ( 1 − r n ) (1-r)S_n = a(1-r^n) 따라서 r ≠ 1 r \neq 1 일 때, S n = a ( 1 − r n ) 1 − r \boxed{S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}} ​ ​ 👉 이것이 유한한 기하급수의 합 공식 입니다. 만약 r = 1 r=1 이라면 단순히 S n = n a S_n = na 가 되겠죠. 3. 무한급수로 확장 이제 무한히 더하는 경우를 생각해봅시다. 무한급수의 합은 단순히 “끝까지 더한 값”이 아니라, 부분합의 극한값 으로 정의됩니다. S = lim ⁡ n → ∞ S n = lim ⁡ n → ∞ a ( 1 − r n ) 1 − r S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{a(1-r^n)}{1-r} ​ 여기서 핵심은 ∣ r ∣ < 1 |r| < 1 이면 r n → 0 r^n \to 0 이 된다는 점입니다. 따라서, S = a 1 − r ( ∣ r ∣ < 1 ) \boxed{S = \frac{a}{1-r}...

  컴퓨터는 어떻게 미적분을 계산할까? 우리가 학교에서 배우는 미적분은 철저히 극한의 개념 에 기반합니다. 하지만 컴퓨터는 무한히 작은 값이나 무한히 큰 과정을 직접 다룰 수 없습니다. 그렇다면 컴퓨터는 어떻게 미분과 적분을 수행할까요? 1. 미분: 함수의 순간 변화율 📌 정의 f ′ ( x ) = lim ⁡ h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} ​ 즉, "무한히 작은 h h h "가 필요합니다. 하지만 컴퓨터는 무한히 작은 값을 다룰 수 없으니 근사 또는 심볼릭 연산 을 사용합니다. (1) 수치적 미분 h h h 를 매우 작은 값으로 두고 직접 계산: f ′ ( x ) ≈ f ( x + h ) − f ( x ) h f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h} ​ 더 정밀한 방법: 중심 차분 f ′ ( x ) ≈ f ( x + h ) − f ( x − h ) 2 h f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} ​ 문제: h h 가 너무 작으면 부동소수점 오차 때문에 정확도가 떨어집니다. (2) 심볼릭 미분 수학적 규칙(합·곱·체인룰)을 적용해서 정확한 공식 을 도출합니다. 예: sin ⁡ ( x 2 ) \sin(x^2) sin ( x 2 ) → 2 x cos ⁡ ( x 2 ) 2x\cos(x^2) 2 x cos ( x 2 ) 2. 적분: 넓이와 합의 극한 📌 정의 ∫ a b f ( x )   d x = lim ⁡ n → ∞ ∑ k = 1 n f ( x k ) Δ x \int_a^b f(x)\, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x 역시 극한 기반의 정의입니다. (1) 수치적 적분 무한히 많은 사각형을 그릴 수 없으니, 유한한 분할로 근사 합니다. ...

  일본식 번역 때문에 왜 수학 개념이 헷갈릴까? 수학을 배우면서 한 가지 이상한 점을 느낀 적 있나요? “기하급수”라는 단어 안에 이미 **합(sum)**의 의미가 들어 있는 것 같지만, 공식에서는 굳이 “n항 합”이라고 말합니다. 사실 이건 번역으로 인한 이해 충돌 에서 비롯된 문제입니다. 1. 수열과 급수, 기하급수 수열(sequence) 단순히 숫자들이 순서대로 나열된 것 예: 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , … 1, 2, 4, 8, 16, … 합의 의미 없음 기하급수(geometric progression, GP) 일정한 비율 r r 로 이전 항과 곱해지는 수열 즉, GP = 특별한 수열 급수(series) 수열의 항들을 더한 것 예: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … 합(sum)의 개념 포함 정리하면: 수열 → 기하급수 → 기하급수의 합(급수) 즉, “기하급수의 n항 합”은 수열을 더한 결과를 구한다 는 의미를 명확히 하기 위한 표현입니다. 2. 혼동의 원인: 일본식 번역 영어 원어 기준: progression = 수열(sequence) series = 급수(sum of sequence) 일본식 번역에서는 두 개를 모두 기하급수 라고 번역 결과: 한국 교과서에서도 “기하급수”라고만 나오고, 합의 의미가 혼재 많은 학생들은 별 생각 없이 넘어가지만, 개념적으로 따지면 꽤 거슬리는 부분입니다. 3. 왜 “n항 합”을 따로 명시할까? 기하급수 자체는 단순한 나열(수열) 합을 구할 때만 **급수(series)**가 되기 때문에 따라서 “기하급수의 n항 합”이라고 명시해야 혼동 없이 이해 가능 4. 요약 수열 = 나열 기하급수 = 일정 비율 수열 급수(합) = 수열의 항들을 더한 결과 혼동의 원인 = 일본식 ...