[수학] 증명: 모든 자연수는 소인수 분해를 가진다

 

모순을 이용한 증명으로 본 자연수의 소인수 분해 가능성

서론

자연수는 1보다 큰 소수들의 곱으로 표현될 수 있습니다. 이를 자연수의 소인수 분해라고 합니다. 이번 글에서는 모순을 이용한 증명(Proof by Contradiction) 기법을 사용하여 모든 자연수가 소인수 분해를 가진다는 사실을 증명해 보겠습니다.

증명: 모든 자연수는 소인수 분해를 가진다

가정

모순을 이용한 증명을 수행하기 위해, 우리가 증명하고자 하는 명제의 반대되는 가정을 해봅시다. 즉, 소인수 분해를 가질 수 없는 자연수가 존재한다고 가정합니다.

최소 반례 선택

소인수 분해를 가지지 않는 자연수들 중에서 가장 작은 자연수를 N이라 하겠습니다.

  1. N이 소수일 경우: 소수는 자기 자신만을 인수로 가지므로, 이는 곧 소인수 분해를 가진다는 의미입니다. 따라서 모순입니다.

  2. N이 합성수일 경우: 그러면 N은 두 개 이상의 자연수의 곱으로 표현될 수 있습니다. 즉, 어떤 두 자연수 a, b (1 < a, b < N)에 대해

    N=a×bN = a \times b

    라고 쓸 수 있습니다.

    그런데 우리가 선택한 N은 소인수 분해를 가지지 않는 가장 작은 자연수이므로, a와 b는 반드시 소인수 분해를 가져야 합니다. 따라서 a와 b의 소인수 분해를 조합하면 N 역시 소인수 분해를 가질 수 있습니다. 이는 우리의 가정과 모순됩니다.

결론

위에서 본 바와 같이, 소인수 분해를 가지지 않는 가장 작은 자연수 N이 존재한다는 가정은 모순을 일으킵니다. 따라서 모든 자연수는 반드시 소인수 분해를 가진다는 원래 명제가 참임을 알 수 있습니다.

마무리

이번 증명을 통해 자연수의 소인수 분해 가능성을 엄밀하게 보일 수 있었습니다. 이는 수학의 기본적인 정리 중 하나로, 다양한 분야에서 중요한 역할을 합니다. 특히 정수론과 암호학에서 소수의 역할은 매우 크며, RSA 암호 알고리즘과 같은 현대 보안 기술에서도 활용됩니다.

앞으로도 수학적 증명의 아름다움을 탐구하며, 더 많은 개념을 이해해 나가는 과정이 되길 바랍니다!

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