[수학] 공분산(Covariance)의 기하학적 이해

통계학에서 공분산(Covariance)은 두 개의 확률 변수 간의 관계를 측정하는 중요한 개념이다. 하지만 단순한 수식보다는 기하학적인 직관을 통해 이해하면 훨씬 더 깊이 있는 개념으로 받아들일 수 있다. 이번 글에서는 공분산을 벡터 공간의 개념과 함께 설명해 보겠다.

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1. 공분산의 정의

두 확률 변수 $X$와 $Y$의 공분산은 다음과 같이 정의된다:

$$\text{Cov}(X, Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - E[X])(Y_i - E[Y])$$

여기서 $E[X]$와 $E[Y]$는 각각 $X$와 $Y$의 평균을 나타낸다. 수식만 보면 단순한 곱의 평균처럼 보일 수 있지만, 이를 기하학적으로 해석하면 훨씬 직관적으로 다가온다.

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2. 공분산의 기하학적 의미

공분산을 기하학적으로 이해하기 위해, $X$와 $Y$를 각각 하나의 벡터 공간의 좌표라고 생각해 보자. 즉, $X$와 $Y$의 각 데이터 포인트 $(X_i, Y_i)$를 평균을 기준으로 벡터로 변환하면 다음과 같이 표현할 수 있다:

$$\mathbf{X} = (X_1 - E[X], X_2 - E[X], ..., X_n - E[X])$$ $$\mathbf{Y} = (Y_1 - E[Y], Y_2 - E[Y], ..., Y_n - E[Y])$$

이제 공분산 식을 다시 보면, 사실상 벡터 $\mathbf{X}$와 $\mathbf{Y}$의 내적(inner product)과 유사한 연산을 하고 있다는 것을 알 수 있다:

$$\text{Cov}(X, Y) \propto \mathbf{X} \cdot \mathbf{Y} = \sum_{i=1}^{n} (X_i - E[X]) (Y_i - E[Y])$$

이제 벡터의 내적 개념을 떠올려 보자.

2.1 벡터 내적과 공분산

두 벡터의 내적은 다음과 같이 정의된다:

$$\mathbf{X} \cdot \mathbf{Y} = \|\mathbf{X}\| \|\mathbf{Y}\| \cos\theta$$

여기서 $\theta$는 두 벡터 사이의 각도이다. 이 개념을 공분산과 비교하면:

• $\cos\theta > 0$ → 두 벡터가 비슷한 방향 → 공분산 양수
• $\cos\theta < 0$ → 두 벡터가 반대 방향 → 공분산 음수
• $\cos\theta = 0$ → 두 벡터가 수직(독립적) → 공분산 0

즉, 공분산은 단순한 곱셈이 아니라, 두 변수 간의 방향성과 관계를 나타내는 일종의 기하학적 내적이다.

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3. 공분산과 2D 공간에서의 패턴

공분산을 2차원 평면에서 보면, 데이터 포인트들이 평균을 중심으로 어떤 패턴으로 퍼져 있는지를 나타낸다.

평균을 중심으로 한 편차 $(X - E[X], Y - E[Y])$의 곱이 어떻게 되는지에 따라 공분산이 결정된다.

• 같은 방향으로 증가 → 1사분면 & 3사분면에 데이터가 많음 → 공분산 양수
• 반대 방향으로 변화 → 2사분면 & 4사분면에 데이터가 많음 → 공분산 음수
• 랜덤하게 퍼짐 → 특정한 방향 없음 → 공분산 0에 가까움

이를 쉽게 이해하기 위해, 평균을 기준으로 편차를 나타내는 2D 공간을 생각해보자.

• 1사분면: $X > E[X], Y > E[Y]$ → 편차 곱 $> 0$
• 2사분면: $X < E[X], Y > E[Y]$ → 편차 곱 $< 0$
• 3사분면: $X < E[X], Y < E[Y]$ → 편차 곱 $> 0$
• 4사분면: $X > E[X], Y < E[Y]$ → 편차 곱 $< 0$

즉, 데이터가 1사분면과 3사분면에 많으면 공분산이 양수, 2사분면과 4사분면에 많으면 공분산이 음수가 된다.

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4. 공분산의 의미 정리

✅ 같은 방향으로 변화 → 1사분면 & 3사분면에 데이터 밀집 → 공분산 양수
✅ 반대 방향으로 변화 → 2사분면 & 4사분면에 데이터 밀집 → 공분산 음수
✅ 랜덤(상관 없음) → 균등하게 퍼짐 → 공분산 0에 가까움

즉, 공분산은 단순한 곱셈이 아니라, 벡터의 방향성과 크기를 반영한 기하학적 개념이라는 점을 이해하는 것이 중요하다.

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5. 결론

공분산은 두 변수 간의 관계를 측정하는 중요한 통계 개념이지만, 단순한 수학적 정의보다 기하학적인 직관을 활용하면 더 쉽게 이해할 수 있다. 공분산을 벡터 내적과 비교하여 해석하면, 그 값이 데이터의 방향성과 연관되어 있음을 알 수 있다.

공분산의 개념을 확장하면, 상관계수(Correlation Coefficient), 주성분 분석(PCA), 최소제곱법(OLS Regression) 등 다양한 통계적 기법에서도 활용할 수 있다. 따라서 공분산의 기하학적 의미를 잘 이해해 두면, 이후 더 복잡한 통계 기법을 배우는 데에도 큰 도움이 될 것이다.