[수학] 선형, 비선형 모델의 이해
📘 선형 모델이란? 독립변수와 비선형까지 쉽게 이해해보자
금융, 제어, 데이터 분석, 자동화 등 수많은 분야에서 선형(linear) 모델은 가장 기본이자 강력한 도구입니다.
그런데… 선형 모델이 왜 ‘선형’일까요? 그리고 도대체 뭐가 ‘비선형’인 걸까요?
이 글에서는 수식보다 직관으로, 선형 모델의 의미를 차근히 정리해보겠습니다.
🔹 선형 모델의 핵심 조건
우리가 어떤 시스템(혹은 데이터)을 선형으로 모델링할 수 있다는 건 몇 가지 중요한 조건을 뜻합니다.
1. 독립 변수들이 서로 영향을 주지 않는다
예를 들어, 아래와 같은 수식을 봅시다:
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x₁과 x₂는 서로 간섭하지 않음
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각각 자신만의 기여도로 y에 영향을 미침
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x₁이 2배가 되면, y도 정확히 3만큼 더 늘어나고
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x₂가 1 증가하면 y는 5만큼 증가
이런 식으로 기여가 각각 ‘일정한 비율(상수 계수)’로 적용되며, 변수 간 상호작용이 없는 구조를 선형 모델이라고 합니다.
2. 기여도가 일정한 비율로 유지된다
즉, 변수의 값이 두 배가 되면 그 영향도 두 배. 세 배가 되면 영향도 세 배.
→ 변화가 비례적이기 때문에 예측이 단순하고 안정적입니다.
3. 곱하거나 나누지 않는다
선형 모델에서는 독립 변수들이 다음과 같은 형태로 조합되지 않습니다:
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이런 연산이 포함되면, 독립 변수들이 서로 영향을 주기 시작하고
한 변수의 변화가 다른 변수의 값에 따라 달라지는 비선형 시스템이 됩니다.
🌀 비선형의 예시
여기선 x₁과 x₂가 곱해졌습니다.
이제 x₁을 늘렸을 때 y가 얼마나 증가할지는 x₂ 값에 따라 달라집니다.
→ 이건 더 이상 "각 변수의 독립적 기여"라고 볼 수 없습니다.
→ 즉, 비선형 관계입니다.
📈 왜 중요한가요?
현실의 많은 시스템은 복잡해서 비선형성이 존재하지만,
선형 모델로 근사하면 계산이 간단해지고 해석도 쉬워집니다.
특히 금융, 경제, 공장 자동화, 제어 시스템에서는 다음과 같은 이유로 선형 모델을 자주 씁니다:
| 장점 | 설명 |
|---|---|
| 계산이 빠름 | 행렬 연산, 회귀 분석 등 수학적으로 효율적 |
| 해석이 쉬움 | 변수 간 영향력(기울기)을 직관적으로 파악 가능 |
| 모델링이 단순 | 변수 간 상호작용을 고려하지 않아도 됨 |
| 실시간 적용 용이 | PLC 제어, 트레이딩 봇 등에서 선호 |
🧠 결론
✔️ 선형 모델이란, 각 변수들이 독립적으로 일정한 비율로 결과에 기여하는 모델입니다.
✔️ 변수 간 곱/나눗셈 등 상호작용이 들어가면 비선형이 됩니다.
✔️ 복잡한 현실을 단순하게 모델링할 때 선형은 강력한 도구입니다.
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