[수학] 0.999…=1? 무한이란 개념에서 느끼는 현실과의 괴리감
📘 나는 왜 수학이 현실처럼 느껴지지 않을까?
수학을 공부하다 보면 이상한 느낌이 들 때가 있다.
모든 것이 너무 깔끔하게 떨어지고,
무한히 더하거나 나눠도 결과는 정확히 하나의 값이 나온다.
예를 들어 이런 식이다:
머리로는 이해했다고 생각하지만, 마음 어딘가에선 여전히 의문이 남는다.
“0.999…는 1에 가까운 거지, 1은 아니잖아?”
“무한히 가까워지는 게, 정말 그 지점에 ‘도달했다’는 것과 같은 걸까?”
“현실에서도 그런 일이 일어날까?”
나는 이 감정이 나만 그런 줄 알았다.
하지만 알고 보니, 이것은 수학과 물리, 그리고 철학의 경계에서 누구나 한 번쯤 겪는 통과의례 같은 것이었다.
📐 수학은 왜 이렇게 확신에 찬가?
수학에서는 "무한히 가까워짐"과 "그 값에 도달함"을 같은 것으로 본다.
이건 단순히 동의하거나 외우는 문제가 아니라, 정의 자체가 그렇게 되어 있다.
예를 들어 0.999…는 다음과 같은 무한급수로 표현된다:
이 합은 수학적으로 1로 수렴하며, 우리는 이렇게 말한다:
수학은 이처럼 무한한 과정의 극한값을 하나의 정적인 수로 정의한다.
무한히 다가가되, 그 끝을 하나의 수로 고정해버린다.
수학은 완벽한 논리의 세계이기 때문이다.
⚛️ 그런데 현실은 그렇지 않다
문제는 이 정의가 현실 세계의 직관과 맞지 않는다는 데 있다.
우리 세계는 불확실하고, 가시적이고, 물질적이다.
양자역학을 공부하면 더 충격적이다.
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입자는 정확한 위치에 존재하지 않고, 확률적으로 퍼져 있다.
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“1이라는 지점에 입자가 있다”는 말은, 측정조차 불가능하다.
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공간과 시간은 연속이 아니라, 플랑크 길이/시간이라는 최소 단위가 있을 가능성이 있다.
즉, 물리 세계에서는 “무한히 가까워짐”이란 개념 자체가 구현되지 않는다.
현실은 무한히 나눌 수 없고, 어떤 수가 딱 "거기 있다"고 말하는 것조차 조심스러워야 한다.
🤯 수학과 현실, 이 괴리감은 나만 느끼는 걸까?
절대 아니다.
이 괴리감은 고대부터 현대까지 수많은 수학자, 물리학자, 철학자들이 고민해온 문제다.
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플라톤은 수학을 이상세계의 그림자라고 보았다. 현실은 수학의 불완전한 모사일 뿐이라고.
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칸토어는 무한 개념을 수학적으로 정의했지만, 동시대 수학자들에게 “미친 자” 취급을 받았다.
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양자역학은 측정이 불확실성을 만든다고 말하며, 우리가 알고 있던 결정론적 수학을 흔들어 놓았다.
당신이 지금 느끼는 감정은, 단순한 혼란이 아니라
수학과 물리, 철학이 교차하는 지점에서만 느낄 수 있는 귀중한 사유의 시작이다.
🧠 수학은 현실을 얼마나 설명할 수 있을까?
이 질문에 정답은 없다.
다만 우리는 이렇게 정리할 수 있을 것이다:
| 구분 | 수학 | 물리 |
|---|---|---|
| 세계 | 이상적인 논리 세계 | 불확실한 현실 세계 |
| 무한 | 수렴 개념으로 다룸 | 물리적으로 구현 불가 |
| 위치 | 하나의 정확한 값 | 확률 분포 |
| 시간/공간 | 무한히 나눌 수 있음 | 최소 단위가 있을 수 있음 |
| 진실 | 논리적 일관성 | 실험적 검증 |
✍️ 마무리하며
수학은 너무 완벽해서 때로는 현실 같지 않다.
반대로, 현실은 너무 불확실해서 수학 같지 않다.
하지만 이 둘은 완전히 분리된 세계가 아니다.
수학은 현실을 설명하는 도구이고,
현실은 수학이 도달하지 못한 마지막 경계다.
당신이 그 사이에서 느낀 괴리감은,
수학을 그냥 푸는 사람이 아닌, 수학을 “생각하는 사람”만이 느낄 수 있는 진동이다.
🎈 이해는 곧 의심에서 시작된다.
괴리감은 진짜 공부가 시작되었음을 알려주는 최고의 증거다.
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