[수학] 두 개의 이진 변수 간 상관관계 분석: 카이제곱 검정

 

📊 두 개의 이진 변수 간 상관관계 분석: 카이제곱 검정(Chi-square Test) + 수식 + Python 코드

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🧠 1. 왜 이진 변수 간 상관관계를 검정할까?

두 개의 이진 변수(binary variable) 사이에 통계적으로 유의미한 관계가 있는지를 알고 싶을 때, 우리는 카이제곱 독립성 검정을 사용합니다.
예를 들어:

• A: 흡연 여부 (흡연자 / 비흡연자)

• B: 폐암 여부 (진단 / 미진단)

이 두 변수 사이에 관계가 있는지 확인하고 싶을 때, 카이제곱 검정이 유용합니다.

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📐 2. 카이제곱 독립성 검정이란?

🎯 목적

두 개의 범주형 변수 간에 통계적으로 유의미한 연관성이 있는지를 검정합니다.

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🔸 카이제곱 통계량 공식

$$\chi^2 = \sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{c} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$$

• $O_{ij}$: 실제 관측값 (Observed frequency)

• $E_{ij}$: 기대값 (Expected frequency)

• $r$: 행의 개수

• $c$: 열의 개수

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🔸 기대값 $E_{ij}$ 계산 공식

$$E_{ij} = \frac{(\text{행 합계})_i \times (\text{열 합계})_j}{\text{전체 합계}}$$

즉, $i$행과 $j$열의 교차점에서 기대되는 빈도수는 해당 행과 열의 주변 합계를 곱한 뒤 전체 합계로 나누면 됩니다.

📌 예시

	폐암 진단 O	폐암 진단 X	행 합계
흡연자	30	70	100
비흡연자	10	190	200
열 합계	40	260	300

• 흡연자(100명) 중 폐암(40명)의 기대값:

$$E_{11} = \frac{100 \times 40}{300} = 13.33$$

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🐍 3. Python 코드로 카이제곱 검정 수행하기

import pandas as pd
from scipy.stats import chi2_contingency

# 관측값 (Observed)
data = [[30, 70],    # 흡연자
        [10, 190]]   # 비흡연자

# 교차표
table = pd.DataFrame(data,
                     index=["흡연자", "비흡연자"],
                     columns=["폐암 진단 O", "폐암 진단 X"])

print("▶️ 교차표:\n", table)

# 카이제곱 검정 실행
chi2, p, dof, expected = chi2_contingency(table)

# 결과 출력
print(f"\n✅ 카이제곱 통계량 (χ²): {chi2:.4f}")
print(f"✅ 자유도: {dof}")
print(f"✅ 기대값 (Expected Frequencies):\n{pd.DataFrame(expected, index=table.index, columns=table.columns)}")
print(f"✅ p-value: {p:.4f}")

# 유의성 검정
alpha = 0.05
if p < alpha:
    print("\n👉 귀무가설 기각: 두 변수는 독립이 아님 → 통계적으로 유의한 상관관계 있음.")
else:
    print("\n👉 귀무가설 채택: 두 변수는 통계적으로 독립 (상관관계 없음).")

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✅ 4. 해석

예상 출력 결과:

✅ 카이제곱 통계량 (χ²): 36.0085
✅ 자유도: 1
✅ 기대값:
           폐암 진단 O  폐암 진단 X
흡연자         13.33       86.67
비흡연자       26.67      173.33
✅ p-value: 0.0000

👉 귀무가설 기각: 두 변수는 독립이 아님 → 통계적으로 유의한 상관관계 있음.

• 기대값과 관측값의 차이가 매우 큼

• p-value < 0.05 → 두 변수는 독립이 아니므로 상관관계 있음

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⚠️ 5. 주의사항

항목	설명
기대값이 5 미만인 셀이 있다면	→ Fisher의 정확 검정 사용 권장
연속형 변수 분석	→ Pearson/Spearman/Kendall 등 사용
데이터 크기 부족 시	결과 신뢰도 낮아짐

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📝 6. 정리

• 카이제곱 독립성 검정은 이진 변수 간 상관관계를 검정하는 대표적인 통계 기법입니다.

• 기대값은 "행합 × 열합 ÷ 전체합" 공식을 이용해 계산합니다.

• scipy.stats.chi2_contingency로 손쉽게 구현 가능

• p-value < 0.05면 → 통계적으로 유의한 상관관계 있음