📌 수열과 급수, 그리고 무한급수의 합이 의미하는 것

수학을 공부하다 보면 **수열(sequence)**과 **급수(series)**라는 말을 자주 듣습니다.
겉보기에는 비슷하지만, 실제로는 전혀 다른 개념을 다루고 있습니다. 게다가 물리나 자연현상 속에서도 자주 등장하기 때문에, 차이를 이해하면 많은 도움이 됩니다.

1. 수열: 숫자의 나열

수열은 일정한 규칙에 따라 나열된 숫자입니다.

예를 들어,

1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \dots

이렇게 이어지는 것이 하나의 수열입니다.

👉 수열에서 중요한 질문은 **“이 항들이 어디로 가까워지는가?”**입니다.
위 수열은 점점 작아져 결국 0에 다가갑니다.

급수는 수열의 항들을 차례대로 더한 것입니다.

예를 들어 위 수열을 더하면:

1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{4} + \cdots

이것이 바로 급수입니다.

👉 급수에서 중요한 질문은 **“이 무한한 덧셈이 특정한 값으로 모일 수 있는가?”**입니다.

책에 나온 예시로 살펴보면 더 직관적입니다.

(1.1a) 세균 예시
세균이 매 시간마다 두 배씩 늘어난다고 하면:
$1 + 2 + 4 + 8 + \cdots$
값이 끝없이 커집니다. → 발산급수, 합이 정의되지 않음
(1.1b) 공 튀기기 예시
공이 처음 1m 높이에서 떨어지고, 매번 튀어 오를 때마다 높이가 $\tfrac{2}{3}$ 로 줄어든다고 하면, 공이 움직인 거리는:
$1 + \tfrac{2}{3} + \tfrac{2}{3} + \tfrac{4}{9} + \tfrac{4}{9} + \cdots$
점점 줄어들며 특정 값으로 수렴합니다. → 수렴급수, 합이 존재

👉 중요한 점: “합이 있다”는 것이 실제로 끝까지 다 더했다는 뜻은 아니다

무한히 더하는 것은 불가능하므로, 우리는 부분합
$S_N = a_1 + a_2 + \dots + a_N$
을 만든 뒤, $N \to \infty$ 일 때 극한값이 존재하는지를 따집니다.
즉, 수렴급수의 합 = 부분합의 극한
따라서 수렴급수는 합의 문제라기보다 극한의 영역이라는 말이 정확합니다.

즉, 수열은 과정의 나열, 급수는 그 과정을 **합쳐서 얻은 결과(극한)**라고 생각하면 됩니다.

✍️ 결론:
수열은 “흐름”, 급수는 “그 흐름을 합친 전체”라고 이해하면 쉽습니다.
이 개념을 잡으면 자연현상 속 무한과 극한을 직관적으로 이해할 수 있습니다.