[수학] 기하급수와 합: 수렴급수만 가능한 이유

 

기하급수와 합: 수렴급수만 가능한 이유

수학에서 기하급수(geometric series)는 각 항이 일정한 비율 $r$로 증가하거나 감소하는 급수를 말합니다.

$$a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots$$

• $a$ : 첫 번째 항

• $r$ : 공비

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1. 기하급수 합 공식

기하급수의 합 공식은 다음과 같습니다.

$$S = \frac{a}{1-r}, \quad |r| < 1$$

• 중요 조건: $|r| < 1$
  

  • 부분합이 유한한 값에 수렴해야만 공식 적용 가능

  • $|r| \ge 1$이면 급수는 발산, 합 공식 적용 불가

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2. 합 공식 유도 (증명)

n항 합 $S_n$를 생각합니다.

$$S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}$$

공통인수 $a$를 묶고:

$$S_n = a(1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-1})$$

이제 $S_n$과 $r S_n$을 빼면:

$$S_n - r S_n = 1 - r^n \quad \Rightarrow \quad S_n = \frac{1 - r^n}{1-r}$$

• 무한급수 합: $n \to \infty$
  

$$S = \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$$

• $|r| < 1$ → $r^n \to 0$ → $S = \frac{a}{1-r}$

• $|r| \ge 1$ → $r^n$이 0으로 수렴하지 않음 → 합 공식 적용 불가

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3. 발산급수에서 공식 억지 적용 사례

강하게 발산하는 급수:

$$1 + 2 + 4 + 8 + \cdots$$

1. 급수를 $S$라고 정의:

$$S = 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots$$

2. 양변에 2를 곱하면:

$$2S = 2 + 4 + 8 + 16 + \cdots$$

3. 원래 $S$에서 2를 빼면?

$$2S - S = (2 + 4 + 8 + \cdots) - (1 + 2 + 4 + \cdots) = -1$$

4. 따라서 억지로 계산하면:

$$S = -1$$

• 문제점: 실제 부분합은 1 → 3 → 7 → 15 → … 끝없이 증가

• 공식대로 계산하면 현실과 맞지 않는 결과가 나옴 → 논리적으로 말이 안 됨

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4. 직관적 이해

(1) 수렴하는 기하급수 ($|r|<1$)

$$1 + \frac12 + \frac14 + \frac18 + \cdots$$

• 부분합: 1 → 1.5 → 1.75 → 1.875 → … → 2

• 합 공식 적용 가능 → $S = 1/(1-1/2) = 2$
  

(2) 발산하는 기하급수 ($|r|\ge 1$)

$$1 + 2 + 4 + 8 + \cdots$$

• 부분합: 1 → 3 → 7 → 15 → … → 끝없이 커짐

• 합 공식 적용 불가 → 억지 적용하면 $S=-1$과 같은 말도 안 되는 결과

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5. 핵심 포인트

1. 기하급수 합 공식은 수렴급수에만 의미가 있다.

2. $|r| < 1$일 때만 부분합이 유한한 값으로 수렴 → 공식 적용 가능

3. $|r| \ge 1$이면 급수는 발산 → 합 공식 적용하면 논리적으로 말이 안 되는 결과 발생

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💡 한 문장 요약:

기하급수는 끝없이 더해도 안정적으로 수렴할 때만 합을 구할 수 있으며, 발산급수에는 공식 적용이 불가능하다.