[수학] 표준편차의 곱(σX * σY)의 기하학적 의미: 공분산 정규화와 상관계수의 직관적 해석

1. 공분산 정규화의 필요성

공분산($\text{Cov}(X, Y)$)은 두 변수 $X$와 $Y$의 단위에 따라 값이 달라집니다. 예를 들어, $X$가 키(cm), $Y$가 몸무게(kg)라면, 공분산의 단위도 cm·kg가 되어 직관적으로 해석하기 어렵습니다.

따라서 두 변수의 변동성을 고려하여 무차원 값으로 만들기 위해 공분산을 표준편차의 곱으로 나누는 것입니다.

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2. 기하학적 해석

공분산은 두 변수의 편차 벡터 $(X - E[X], Y - E[Y])$의 **내적(inner product)**과 비슷한 개념입니다:

$$\text{Cov}(X,Y) = \frac{1}{n} \sum (X_i - E[X])(Y_i - E[Y])$$

이 식은 두 벡터가 얼마나 같은 방향으로 움직이는지를 측정하는데, 문제는 벡터 크기(표준편차)가 다르면 비교가 어렵다는 점입니다.

그래서 각 벡터의 크기($\sigma_X, \sigma_Y$)로 나누면 단위 벡터처럼 정규화할 수 있습니다.

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3. 표준편차의 곱과 벡터 내적

확률변수 $X, Y$의 편차 벡터를 각각 $U = X - E[X]$, $V = Y - E[Y]$ 라고 하면,

• 표준편차는 벡터의 크기(노름)로 해석됩니다.

  $$\sigma_X = \| U \|, \quad \sigma_Y = \| V \|$$

• 공분산은 두 벡터의 내적을 기대값으로 나타낸 값입니다.

  $$\text{Cov}(X, Y) = E[U V]$$

• 따라서, 피어슨 상관계수 $\rho$는 **코사인 유사도(Cosine Similarity)**와 동일한 형태로 표현됩니다.

  $$\rho(X, Y) = \frac{E[U V]}{\| U \| \cdot \| V \|} = \cos(\theta)$$

  여기서 $\theta$는 두 벡터 $U, V$ 사이의 각도입니다.

즉, 표준편차의 곱은 편차 벡터들의 크기를 조정하여 공분산을 -1과 1 사이의 범위로 정규화하는 역할을 합니다.

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4. 기하학적 해석

표준편차의 곱을 기하학적으로 해석하면, 편차 벡터 $U, V$가 형성하는 평행사변형의 면적과 관련이 있습니다.

• $\sigma_X \cdot \sigma_Y$는 편차 벡터의 크기를 곱한 값이므로,
• 이는 편차 벡터가 이루는 평행사변형의 면적의 상한(bound)을 결정합니다.
• 공분산 $\text{Cov}(X, Y)$이 최대일 때(완전한 양의 상관, $\rho = 1$), 이 값과 동일해집니다.

즉, 표준편차의 곱은 두 변수의 변동성이 함께 변화할 수 있는 최대 한계를 제공하며, 공분산이 이를 넘지 않도록 제한하는 역할을 합니다.

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5. 결론

1. 표준편차의 곱 $\sigma_X \cdot \sigma_Y$는 각 변수의 개별적인 변동성을 반영하는 스케일 조정값입니다.
2. 기하학적으로 편차 벡터들의 크기를 곱한 값이며, 공분산의 최대 절대값을 결정하는 기준이 됩니다.
3. 피어슨 상관계수 $\rho$가 -1에서 1 사이의 값을 가지도록 공분산을 정규화하는 역할을 합니다.

이제 표준편차의 곱이 왜 중요한지, 그리고 어떻게 기하학적으로 해석될 수 있는지 명확하게 이해되었을 것입니다! 😊