사각형의 넓이 공식의 증명

사각형의 넓이 왜 가로 곱하기 세로 (밑변 곱하기 높이)인가?

우리는 사각형의 가로와 세로의 길이를 곱하여 넓이를 구하는 것을 알고 있습니다. 그런데 사각형의 가로와 세로를 곱하면 넓이가 되는 것을 어떻게 증명할까요? 우선 기하학 측면에서 살펴 보겠습니다.

우선 정사각형의 넓이 구하는 방법에 대한 증명에서 출발합니다. 아래 그림을 보겠습니다.

사각형 $\square ABCD$ 변의 길이 $L$로 이루어진 정사각형입니다. 사각형 $\square EFGH$은 변의 길이가 $1$인 정사각형입니다. 그리고 사각형 $\square EFGH$는 넓이에 대한 공리(Axioms of Area)에 의해 넓이가 $1$이 됩니다. 

그리고 변 $AB$, $EF$의 비는 아래와 같습니다.

$AB:EF=L:1$

그리고 "Similar Polygons are composed of Similar Triangles" 정리에 의해서 사각형 $\square ABCD$와 $\square EFGH$의 넓이 비는 아래와 같이 정리됩니다.

$\square ABCD:\square EFGH=(AB:EF{)}^2$

$\frac{\square ABCD}{\square EFGH}=(\frac{L}{1}{)}^2=L^2$

결과적으로, 사각형 $\square ABCD$의 넓이는 $L^2$가 되고, 이는 한 변의 길이의 제곱을 의미합니다.

이제 직사각형의 넓이 공식에 대한 증명을 보겠습니다.

위 그림에 직사각형 $\square ABCD$가 있습니다. 변 $CD$와 동일한 길이를 한 변으로 하는 정사각형 $\square CDEF$, 변 $BC$와 동일한 길이를 한 변으로 하는 정사각형 $\square BCHI$를 붙입니다. 그러면 직사각형 $\square CDEF$와 $\square BCHI$는 합동입니다.

$AB=a$로 두고 $BI=b$로 두면 정사각형 $\square AIGE$의 넓이는 아래와 같이 전개됩니다.

$(a+b{)}^2=a^2+\square ABCD넓이+\square BCHI넓이+b^2$

$(a+b{)}^2=a^2+2\times \square ABCD넓이+b^2$

$(a^2+2ab+b^2)=a^2+2\times \square ABCD넓이+b^2$

$ab=\square ABCD넓이$

변 $BI$와 직사각형 $\square ABCD$의 세로에 해당하는 $BC$의 길이는 동일하므로, 결과적으로 직사각형 $\square ABCD$의 넓이는 가로 길이와 세로 길이의 곱입니다.

이번에는 적분을 활용한 직사각형의 넓이 공식 증명을 알아 보겠습니다.

위 그래프에서 $f(x)=b$라고 보겠습니다. 직사각형의 넓이는 아래 적분으로 표현될 수 있습니다.

${\int }_0^{a}f(x)dx$

위 식을 풀면 아래와 같습니다.

${\int }_0^{a}f(x)dx={\int }_0^{a}bdx=bx{|}_0^a=b(a)-b(0)=ab$

따라서, 직사각형의 넓이는 가로 x 높이임이 증명되었습니다.

[참조]

정사각형 넓이 공식의 증명

직사각형 넓이 공식의 증명

끝.