[수학] 연속 확률 분포에서 특정 값에 대한 확률이 0인 이유

확률 이론에서 연속 확률 분포는 이산 확률 분포와 다르게 처리됩니다. 이산 확률 변수는 각각의 가능한 값에 대해 확률을 할당할 수 있지만, 연속 확률 변수는 무수히 많은 값들을 가질 수 있기 때문에, 개별 값에 대해 확률을 할당하는 것이 의미가 없습니다. 이를 더 구체적으로 살펴보겠습니다.

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1. 확률의 기본 개념

우리가 알고 있는 확률은 어떤 사건이 발생할 가능성을 나타내는 수치입니다.
이산 확률 변수의 경우, 각 값마다 개별적으로 확률을 할당할 수 있습니다. 예를 들어, 주사위를 던졌을 때 각 면이 나올 확률은 $\frac{1}{6}$입니다.

하지만 연속 확률 변수는 달라집니다. 연속 변수는 무수히 많은 값들을 가질 수 있기 때문에, 특정 값에 대해 확률을 계산할 수 없습니다.

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2. 연속 확률 분포에서 확률의 개념

연속 확률 변수는 **확률 밀도 함수(Probability Density Function, PDF)**로 나타내며, 특정 값에 대한 확률을 정의할 수 없습니다. 왜냐하면 연속적인 값들 사이에 무수히 많은 가능한 값이 존재하기 때문입니다.

수학적으로 설명

확률은 특정 구간에서 확률 밀도 함수 $f(x)$ 의 **적분(면적)**으로 계산됩니다. 예를 들어, 특정 범위 $[a, b]$에서 확률을 계산하려면:

$$P(a\le X\le b)={\int }_a^{b}f(x)dx$$

여기서 중요한 점은 특정 실수 값에 대한 확률은 적분 구간이 0이므로, 확률이 0이 된다는 점입니다.

$$P(X=a)={\int }_a^{a}f(x)dx=0$$

따라서 연속 확률 분포에서는 특정 실수 값에 대한 확률이 항상 0이 됩니다.

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3. 예시: 정규 분포에서 특정 값의 확률

가장 대표적인 연속 확률 분포인 정규 분포(Gaussian distribution) 를 예로 들어 보겠습니다. 예를 들어, 키가 평균 170cm, 표준편차 10cm인 정규 분포를 따른다고 가정해 봅시다. 이때 정확히 175cm가 될 확률을 구해보겠습니다.

$$P(X=175)={\int }_{175}^{175}f(x)dx=0$$

따라서 정확히 175cm가 될 확률은 0입니다. 이는 연속 확률 분포에서 특정 실수 값에 대해 확률을 구할 수 없다는 의미입니다.

하지만 175cm 근처에서 범위를 넓히면 확률은 0이 아니게 됩니다. 예를 들어, 174.5cm와 175.5cm 사이의 확률을 구할 수 있습니다:

$$P(174.5\le X\le 175.5)\mathrm{\ne }0$$

즉, 연속 확률 분포에서는 특정 값에 대한 확률을 구할 수 없고, 대신 범위에 대한 확률을 구합니다.

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4. 결론

연속 확률 분포에서 특정 실수 값에 대한 확률이 0인 이유는, 값들이 무수히 많아 개별 값에 대해 확률을 할당할 수 없기 때문입니다. 대신 확률은 범위에 대한 확률로 정의됩니다. 이는 확률 밀도 함수의 적분으로 계산되며, 특정 구간에 해당하는 확률을 구할 수 있습니다.

따라서 연속 확률 분포에서는 특정 실수 값에 대한 확률은 의미가 없고, 범위 내의 확률만 유효함을 기억해야 합니다.