[수학] 정수는 왜 연속체 속에서 특별해 보일까? – 10진수 체계에 의한 착시
우리는 **1, 2, 3, ...**과 같은 정수를 일상적으로 사용하며, 이런 숫자들이 실수의 연속체 속에서 특별한 존재처럼 느껴집니다. 예를 들어, 1과 1.1 사이에는 무수히 많은 실수들이 존재하지만, 정수 "1"은 매우 깔끔하고 명확한 숫자처럼 보입니다.
이런 정수의 특별함을 어떻게 이해해야 할까요?
그럴 때 우리는 10진수 체계에 의한 수학적 착시를 고려할 필요가 있습니다.
🔢 10진수 체계에 의한 착시
10진법(Decimal System)은 우리가 사용하는 표기법이죠. 이 체계에서 숫자는 끝나는 소수와 무한 소수를 명확하게 구분합니다. 예를 들어, 1은 끝나는 소수이고, 1.1은 소수점 이하가 끝나는 소수로 나타낼 수 있습니다. 하지만 실수(real number)는 이런 끝나는 소수와 무한소수가 아닌 연속적인 숫자들로 이루어져 있습니다.
이때 정수 1은 실수 중에서 매우 특이한 위치에 있는 수입니다. 실수들은 무수히 많은 값들이 연속적으로 분포하는데, 정수 1은 그 안에서 딱 한 점에 해당하는 고유한 위치를 가집니다.
실수의 연속체에서는 사실 1과 1.1 사이에 존재하는 숫자들이 무수히 많지만, 우리가 숫자를 10진법으로 표현할 때는 "1"이라는 수가 분명하고 깔끔한 형태로 보입니다. 사실, 이 "깔끔함"은 10진법 표기법에서 오는 착시일 수 있습니다.
🧮 기수법이 다르면 착시도 달라진다
이 착시는 **기수법(numeral system)**에 따라 다르게 나타날 수 있습니다. 우리가 흔히 사용하는 10진법에서는 끝나는 소수를 쉽게 표현할 수 있지만, 다른 진법에서는 같은 숫자가 무한소수로 나타날 수 있습니다.
2진법(이진법)의 예:
-
0.1₂ = 0.5₁₀ (10진법으로 0.5)
-
0.01₂ = 0.25₁₀
-
0.111…₂ = 1₁₀ (10진법으로 1)
2진법에서는 0.1₂가 끝나는 소수인 반면, 10진법에서 쓰는 0.1은 끝이 나지 않는 무한 소수로 표현됩니다. 즉, 10진법에서는 "1"이라는 수가 끝나는 소수로 간단히 나타날 수 있지만, 2진법에서는 그와 같은 수를 표현하는데 무한 소수로 나타나야 합니다.
다른 예:
-
1/3은 **10진법에서 0.333...**으로 무한 소수로 표시되지만,
-
3진법에서는 1/3 = 0.1로 간단히 끝나는 수로 표현됩니다.
이처럼 기수법에 따라 수의 표현이 달라지며, 끝나는 숫자와 무한소수가 각기 다른 방식으로 나타날 수 있습니다.
✅ 결론: 정수는 연속체 속에서 특별하지만, 기수법에 의한 착시도 존재한다
**정수는 실수 속에서 이산적(discrete)**으로 존재하지만, 우리가 10진법으로 표기할 때 이들은 때때로 특별하고 깔끔하게 보이는 수처럼 느껴집니다.
이러한 "정수만 특별해 보이는" 느낌은 10진법이라는 표기 방식에서 오는 착시일 수 있습니다. 사실 실수는 기수법에 관계없이 연속적인 존재이며, 정수는 그 중에서 고유한 점에 해당합니다.
그렇다면, 우리가 일상적으로 느끼는 숫자의 "모양"이나 "특별함"은 표기 체계에 의한 상대적 특성에 불과할 수 있다는 점을 기억할 필요가 있습니다.
수학에서 정수의 특별함은 실수의 연속체 속에서 명확히 구별되는 중요한 사실이지만, 그 **"깔끔한 모양"**은 우리가 사용하는 표기법에 따른 착시이기도 합니다.
댓글
댓글 쓰기