[수학] 선형관계란?

 

📘 선형 관계에서 말하는 '일정한 비율'이란?

— 수식 속 상수 계수의 의미를 쉽게 풀어보자

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🔍 선형 관계란 무엇인가?

선형 관계(linear relationship)는 두 변수 사이의 관계가 직선처럼 일정한 비율로 변하는 것을 의미합니다. 다시 말해, 하나의 변수가 일정하게 변할 때 다른 변수도 일정하게 변하면 그 관계는 선형입니다.

예를 들어,

어떤 회사에서 노동량(x)이 1명 늘어날 때마다 생산량(z)이 5개 늘어난다면,
이 관계는 선형입니다.
수식으로 표현하면 z = 5x죠.

이러한 선형성을 잘 표현할 수 있는 일반적인 수식 형태가 바로 다음과 같습니다:

z = αx + βy

여기서 중요한 포인트는 바로 α와 β입니다. 이 둘이 바로 선형 관계에서 말하는 ‘일정한 비율’, 즉 상수 계수입니다.

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🧮 상수 계수(α, β)의 의미

수식 z = αx + βy에서:

• α는 x가 z에 얼마나 영향을 미치는지를 나타냅니다.

• β는 y가 z에 얼마나 영향을 미치는지를 나타냅니다.

예를 들어,

z = 2x + 3y라면:

• x가 1 증가할 때 z는 2 증가하고

• y가 1 증가할 때 z는 3 증가합니다.

즉, x와 y의 변화에 따라 z가 일정한 비율로 변한다는 것,
이게 바로 선형 관계이며, 그 비율을 표현하는 게 상수 계수 α, β입니다.

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📊 선형 관계 vs 비선형 관계

관계 유형	수식 형태	변화 비율
선형 관계	z = αx + βy	α, β: 고정된 상수
비선형 관계	z = x² + log(y)	변화 비율이 변수에 따라 달라짐

선형 관계는 다루기 쉽고 계산이 간단하기 때문에, 경제학, 제어 이론, 공학 등 다양한 분야에서 널리 사용됩니다. 특히 제어 시스템이나 PLC 시퀀스 설계 시 입력과 출력 사이의 관계를 단순화하고 정형화하는 데 유리하죠.

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✨ 요약

• 선형 관계에서 말하는 ‘일정한 비율’은 **수식 속 상수 계수(α, β)**를 의미한다.

• 이 계수들은 변수 x, y가 결과 z에 얼마나 영향을 주는지를 나타낸다.

• 선형 수식은 분석, 제어, 예측 등 여러 분야에서 기본 도구로 쓰인다.

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💡 Tip:
직관적으로 이해하려면 그래프를 떠올려보세요. 선형 관계는 언제나 직선이 됩니다.
즉, 변화 비율이 고정된 경사라는 뜻이죠!