[수학] 왜 랜덤워크는 기대값이 0인데 실제 위치는 0이 아닐까?

5월 29, 2025

🎲 왜 랜덤워크는 기대값이 0인데 실제 위치는 0이 아닐까?

수학적 기대값은 0인데도, 왜 랜덤워크 결과는 항상 0에서 멀어질까?

📌 랜덤워크란?

랜덤워크(Random Walk)는 매 순간 무작위 방향으로 한 걸음씩 움직이는 과정을 말합니다. 가장 단순한 예로는 다음과 같은 1차원 걷기입니다:

+1: 오른쪽으로 한 걸음
–1: 왼쪽으로 한 걸음

10번 걷는다면 예를 들어 아래와 같은 결과가 나올 수 있죠:

[+1, -1, +1, +1, -1, -1, +1, +1, -1, -1] → 최종 위치: +1

🧠 기대값(E[X])이란?

기대값이란 **“많은 시행을 했을 때의 평균”**입니다.

각 걸음이 +1 또는 –1이 나올 확률이 동일하다면, 한 걸음의 기대값은:

E [X] = (+ 1) \times 0.5 + (- 1) \times 0.5 = 0

즉, 이론적으로는 걸음 수가 늘어날수록 평균 위치는 0에 가까워진다는 뜻입니다.

🤔 그런데 실제로는 0에 가지 않아요

이제부터 중요한 포인트입니다:

기대값 0은 "평균적으로 0 근처에 분포한다"는 뜻이지
항상 0이 된다는 의미는 아닙니다.

예를 들어 100번 시행을 하면 다음과 같은 결과가 나올 수 있습니다:

실험 1: +2
실험 2: -8
실험 3: +10
...

→ 대부분의 경우 실제 위치는 0이 아닙니다.

📈 퍼짐은 √N에 비례한다

이걸 수학적으로 보면,
걸음 수가 $N$ 일 때 **위치의 분산(Variance)**은:

V a r (R_{N}) = N

따라서 **표준편차(Standard Deviation)**는:

σ = \sqrt{N​}

즉, 걸음 수가 많아질수록 랜덤워크는 0 근처에 평균적으로 있지만,
그 주변에서 점점 더 퍼지게 됩니다.

🌫️ 비유: 안개 속에서 걷는 사람

“안개 속에서 방향감각을 잃은 사람이 무작위로 왼쪽 또는 오른쪽으로 걷는다.”

이 사람이 10걸음, 100걸음, 1000걸음을 걷는다고 해보세요.

평균적으로는 제자리 근처에 머무릅니다.
그러나 실제로는 10칸, 30칸, 심지어 100칸 이상 멀어질 수도 있습니다.

이것이 바로 기대값은 0이지만 결과는 0이 아닐 수 있는 이유입니다.

✅ 요약 정리

개념	설명
기대값 (E[X])	많은 시행의 평균은 0
실제 위치	대부분 0이 아님
분산	걸음 수에 비례
표준편차	$\sqrt{N}$ 만큼 퍼짐
직관	무작위로 걷다 보면 퍼지지만 평균은 중심에 수렴

💡 덤: 파이썬으로 랜덤워크 시뮬레이션

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

N = 1000
steps = np.random.choice([-1, 1], size=N)
position = np.cumsum(steps)

plt.plot(position)
plt.title("1D Random Walk")
plt.xlabel("Step")
plt.ylabel("Position")
plt.grid()
plt.show()

📚 마무리

랜덤워크는 단순해 보이지만, 실제로는 확률과 통계의 핵심 개념들을 응축하고 있습니다. 기대값과 실제 결과가 다를 수 있다는 점은 투자, 자연현상, 데이터 분석 등 많은 분야에서 중요한 통찰을 제공합니다.

“기대값이 0이라는 사실은 ‘그 주위에서 놀고 있다’는 것이지 ‘항상 0이다’라는 뜻은 아니다.”

이 블로그의 인기 게시물

이 블로그 검색

Programming for Real-World