[수학] 유리수의 조밀성 이야기

5월 12, 2025

📌 유리수는 얼마나 촘촘할까? – 유리수의 조밀성 이야기

우리가 수직선 위에서 숫자를 표시할 때, 정수만 있다면 너무 듬성듬성해서 부족하게 느껴질 겁니다. 그래서 우리는 유리수, 즉 분수 형태의 숫자들을 사용합니다. 그런데 이 유리수들은 수직선 위에서 얼마나 촘촘하게 퍼져 있을까요?

🧭 출발점: "단위"란 무엇인가?

수직선에서 어떤 두 점을 찍고 그 거리를 '1'이라고 정하면, 우리는 그 길이를 기준으로 다른 수들도 표시할 수 있어요. 이때 이 길이 1을 단위(Unit) 라고 부릅니다.

예를 들어,

0에서 1까지가 '1단위'
그 절반인 0.5는 '1단위의 절반'이라는 뜻

이 단위를 기준으로, 우리는 수직선 위에서 다양한 유리수를 나타낼 수 있습니다.

📍 수직선 위의 유리수

0부터 1까지의 구간을 q등분하면, 그 사이의 점들은 다음과 같은 유리수로 표현됩니다:

\frac{0}{q}, \frac{1}{q}, \frac{2}{q}, \dots, \frac{q}{q​}

예를 들어 q = 4일 때:

0, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1

즉, 분모 q가 커질수록 더 촘촘하게 유리수들이 수직선 위에 배치됩니다.

🔍 아무 점이나 유리수로 얼마나 가깝게 표현할 수 있을까?

수직선 위의 어떤 점 P(예: 루트2 ≈ 1.4142...)가 있다고 해봅시다. 이 점은 유리수가 아니지만, 우리는 그 근처에 있는 유리수를 잡아낼 수 있습니다.

분모가 10: 14/10 = 1.4
분모가 100: 141/100 = 1.41
분모가 1000: 1414/1000 = 1.414
…

이처럼 분모를 키우면 키울수록, P에 점점 더 가까운 유리수를 찾을 수 있습니다.

✅ 유리수의 조밀성 (Density of Rational Numbers)

이 현상은 단순한 예시가 아니라, 수학적으로도 엄연히 증명되는 유리수의 조밀성이라는 성질입니다.

다음은 그 수학적 증명입니다:

🧠 [증명]

임의의 두 실수 $a < b$ 에 대해,
그 사이에 항상 하나 이상의 유리수 $\frac{p}{q}$ 가 존재한다.

증명:

$b - a > 0$ 이므로,
어떤 양의 정수 $q$ 가 존재해서
$\frac{1}{q} < b - a$ 가 되도록 할 수 있습니다.
이제, 정수 $p$ 를 다음 조건을 만족하도록 선택합니다:
$\frac{p}{q} > a (즉, a보다 큰 첫 번째 분수)$
이는 다음처럼 쓸 수 있습니다:
$p = ⌊ a q ⌋ + 1$
그러면 이 $\frac{p}{q}$ 는 다음 두 가지를 만족합니다:
- $\frac{p - 1}{q} \le a < \frac{p}{q}$
- $\frac{p}{q} < a + \frac{1}{q} < b$
따라서:
$a < \frac{p}{q} < b$

결론: 어떤 두 수 사이든 항상 그 사이에 유리수 $\frac{p}{q}$ 가 하나 이상 존재한다.
즉, 유리수는 조밀하다. □

📐 시각적 이해

이런 성질 덕분에 우리는 다음과 같은 사실을 직관적으로 받아들일 수 있습니다:

수직선 위의 어떤 점 P를 선택하든,
원하는 만큼 가까운 유리수를 그 근처에 잡을 수 있다.
즉, 유리수로 실수를 근사할 수 있다.

✨ 요약

유리수는 정수보다 훨씬 촘촘하게 수직선에 분포합니다.
아무리 두 수가 가까워도, 그 사이엔 항상 유리수가 존재합니다.
이 조밀한 성질 덕분에 실수의 대부분을 유리수로 근사할 수 있습니다.

✅ 그래서 이 사실이 어디에 활용될 수 있나?

1. 실수의 정의 자체에 활용

실수(real number)는 유리수(rational number)로 근사할 수 있다는 **조밀성(density)**을 기반으로 구축됩니다.
예: 실수는 유리수 수열의 극한으로 정의할 수 있습니다 (데데킨트 절단, 코시 수열 등).

2. 계산과 수치 해석 (Numerical Analysis)

컴퓨터는 실수를 직접 다룰 수 없고, 항상 유리수(또는 유한한 소수)로 근사해서 처리합니다.
√2, π, e 같은 무리수도 전부 유리수 근사값(예: 3.14, 22/7 등)으로 다룹니다.
미분방정식 해법, 수치적 적분, 기계학습 등의 모든 계산이 유리수 근사 기반입니다.

3. 수학의 증명 기법

실수 전체에 대해 어떤 성질을 증명할 때, 유리수에 대해 먼저 증명하고, 그 결과를 실수 전체로 확장하는 방식(조밀성 활용)을 많이 씁니다.
예: 연속함수의 성질, 무리수의 존재 증명 등.

4. 측도론과 적분이론

르베그 적분, 실해석학에서는 유리수 근사로 실수 집합의 측도나 적분값을 정의합니다.
복잡한 함수나 집합을 간단한 유리수 값 함수로 근사한 뒤, 극한을 취하는 방식입니다.

5. 이산 수학과 논리학

모든 실수는 유리수로 표현이 가능해야만 실수라는 개념이 의미가 있으므로, 수학적 구조를 만들 때 유리수 체계를 기반으로 쌓아올립니다.
집합론에서 실수는 유리수로부터 구성됩니다.

간단한 예시:

실수 $\sqrt{2}$ 를 유리수로 근사하면 이렇게 됩니다:

$1.4 = \frac{14}{10}$
$1.41 = \frac{141}{100}$
$1.414 = \frac{707}{500}$

즉, 원하는 정밀도만큼 유리수로 표현할 수 있기 때문에, 실생활 계산, 컴퓨터 연산, 물리 모델링, 공학 시뮬레이션 등 모든 곳에서 활용됩니다.

✅ 파이썬 예제: 실수 √2를 유리수로 근사하기

from math import sqrt
from fractions import Fraction

# 실수 값
real_number = sqrt(2)

# 유리수로 근사
approx_rational = Fraction(real_number).limit_denominator(1000)

print("실수 sqrt(2):", real_number)
print("유리수 근사:", approx_rational)
print("근사값 (소수):", float(approx_rational))
print("오차:", abs(real_number - float(approx_rational)))

🧾 출력 예 (limit_denominator(1000)일 때):

실수 sqrt(2): 1.4142135623730951
유리수 근사: 577/408
근사값 (소수): 1.4142156862745099
오차: 2.123901414768037e-06

🔍 설명:

Fraction(real_number)은 실수를 유리수로 바꿔줍니다.
.limit_denominator(1000)은 분모가 1000 이하인 가장 근접한 유리수를 찾아줍니다.
이렇게 하면 컴퓨터 내부에서 실수 연산을 안전하게 유리수로 근사하여 사용할 수 있습니다.

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