[수학] 동전을 많이 던질수록 왜 비율은 안정될까?
🎲 동전을 많이 던질수록 왜 비율은 안정될까? – 대수의 법칙과 직관의 함정
🔍 문제의 출발점
동전을 계속 던지는 실험을 해봅시다. 동전이 공정하다고 가정하면, 앞면이 나올 확률은 50%, 뒷면도 50%입니다. 그런데 동전을 100번, 1000번, 100000번 던졌을 때 결과를 보면 조금 이상한 일이 일어납니다.
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앞면이 딱 절반 나오는 경우는 드뭅니다.
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앞면 개수와 기대값(전체 횟수의 절반)의 **차이(절대 오차)**는 점점 커집니다.
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그런데 앞면 비율은 점점 0.5에 가까워집니다.
이게 무슨 일이죠?
🎯 기대값 vs 실제값
먼저 몇 가지 개념을 정리해보겠습니다:
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n: 동전을 던진 총 횟수
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Hₙ: 앞면이 나온 횟수
-
기대값: 공정한 동전일 때,
n/2(즉, 전체 던진 횟수의 절반) -
절대 차이:
|Hₙ − n/2| -
앞면 비율:
Hₙ / n
📈 예시로 보는 변화
| 던진 횟수(n) | 실제 앞면 수(Hₙ) | 기대값(n/2) | 절대 차이 | 앞면 비율 |
|---|---|---|---|---|
| 10 | 7 | 5 | 2 | 0.7 |
| 100 | 53 | 50 | 3 | 0.53 |
| 1,000 | 520 | 500 | 20 | 0.52 |
| 10,000 | 5,080 | 5,000 | 80 | 0.508 |
| 100,000 | 49,980 | 50,000 | 20 | 0.4998 |
여기서 눈여겨볼 점은:
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절대 차이는 줄어들지 않고 오히려 커질 수도 있다.
-
비율은 점점 0.5에 가까워진다.
🧠 이것이 왜 직관과 다를까?
동전을 10번 던졌을 때 7번이 앞면이 나오면 우리는 “앞면이 너무 많이 나왔다, 다음엔 뒷면이 나올 확률이 높겠지?”라고 생각할 수 있습니다.
하지만 동전은 과거를 기억하지 못합니다.
→ 이게 바로 **도박사의 오류(Gambler’s Fallacy)**입니다.
📚 대수의 법칙 (Law of Large Numbers)
수학에서는 대수의 법칙이 이 현상을 설명합니다.
“시행 횟수가 커질수록, 평균(비율)은 이론적 기대값에 가까워진다.”
즉, n이 커질수록 Hₙ / n은 0.5에 수렴하게 됩니다.
🧮 수학적으로 보면
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절대 오차:
|Hₙ − n/2|
→ 이는 통계적으로 √n에 비례합니다. (무작위성이 누적됨) -
비율 오차:
(Hₙ − n/2) / n
→ 이는√n / n = 1 / √n
→ n이 커지면 점점 0에 수렴
즉, 절대값은 요동칠 수 있지만, 비율은 안정된다는 말입니다.
✈️ 비유로 이해하기: 비행기 연료
비행기가 목표지점까지 정확히 1000km를 날아야 한다고 해봅시다.
연료 측정기에 ±1L의 오차가 있다고 해도:
-
1km를 갈 때 ±1L는 심각한 문제
-
1000km를 갈 때 ±1L는 거의 무시할 수 있는 수준
동전 던지기도 똑같습니다.
많이 던지면 상대적인 오차는 작아지고, 전체 비율은 안정적으로 기대값에 수렴합니다.
📉 보너스: 랜덤워크(Random Walk)
한편, 절대 오차 Hₙ − n/2의 값은 시간이 지나도 줄어들지 않고, 오히려 커질 수 있습니다.
이런 현상은 **랜덤 워크(random walk)**라고 부르며, 실제 주가의 움직임 모델로도 사용됩니다.
즉, 비율은 안정적이지만, 실제 값은 더 많이 요동칠 수 있다는 점을 기억하세요.
✅ 요약 정리
| 항목 | 특징 |
|---|---|
| 절대 오차 ` | Hₙ − n/2 |
비율 Hₙ / n | 점점 0.5에 수렴 (안정됨) |
| 이유 | 대수의 법칙 / 상대 오차는 1/√n으로 작아짐 |
| 착각 방지 | 과거 결과는 미래에 영향을 주지 않음 (동전은 기억력이 없다) |
| 적용 예시 | 주가 모델링, 게임 전략, 통계적 추정 등 |
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