[수학] 분산 공식이 두 개?

 

📊 분산 공식이 두 개? 전개해보면 같은 식!

통계학을 공부하다 보면, **분산(Variance)**이라는 개념에서 두 가지 수식을 마주치게 됩니다. 한쪽은 직관적인 정의식이고, 다른 하나는 약간 수학적으로 전개된 형태입니다. 그런데 이 두 식이 정말 같은 걸까요?

이번 글에서는 그 궁금증을 해결해보겠습니다.

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🎯 분산이란?

분산은 데이터가 평균에서 얼마나 퍼져 있는지를 나타내는 지표입니다. 수학적으로는 다음과 같이 정의되죠:

✅ 분산의 정의식

$$V(x)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-\bar{x}{)}^2$$

• $x_i$: 데이터의 i번째 값

• $\bar{x}$: 데이터의 평균

• N: 전체 데이터 개수

이 식은 데이터 값과 평균 간의 거리의 제곱을 평균한 값입니다.

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🧮 그런데 이런 식도 봤어요:

✅ 분산의 전개식

$$V(x)=\left(\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{x}_i^2\right)-{\left(\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{x}_i\right)}^2=\mathbb{E}[x^2]-(\mathbb{E}[x]{)}^2$$

이 식은 좀 더 수학적으로 보이지만, 계산에는 더 편리할 때가 많습니다. 이 두 식이 정말 같은 걸까요?

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🧠 직접 증명해보자

Step 1. 정의식을 전개합니다:

$$(x_i-\bar{x}{)}^2=x_i^2-2x_i\bar{x}+{\bar{x}}^2$$

이를 모두 더하면:

$$V(x)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i^2-2x_i\bar{x}+{\bar{x}}^2)$$

Step 2. 합을 항별로 나눕니다:

$$V(x)=\frac{1}{N}(\sum x_i^2-2\bar{x}\sum x_i+N{\bar{x}}^2)$$

여기서 $\sum x_i = N\bar{x}$임을 이용하면:

$$V(x)=\frac{1}{N}(\sum x_i^2-2N{\bar{x}}^2+N{\bar{x}}^2)=\frac{1}{N}(\sum x_i^2-N{\bar{x}}^2)$$

즉,

$$V(x)=(\frac{1}{N}\sum x_i^2)-{\bar{x}}^2$$

이는 바로 전개식이죠!

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✅ 결론

두 수식은 수학적으로 완전히 동일합니다.

• 정의식: 직관적이고 개념 설명에 적합

• 전개식: 계산 시 더 편리함 (특히 평균이 이미 있는 경우)

따라서, 상황에 따라 편한 쪽을 사용하면 됩니다. 특히 코딩이나 실전 통계 분석에서는 전개식이 자주 사용됩니다.

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💡 보너스: 파이썬으로 실습해보기

import numpy as np

x = np.array([2, 4, 6, 8, 10])
mean = np.mean(x)

# 정의식
var1 = np.mean((x - mean)**2)

# 전개식
var2 = np.mean(x**2) - mean**2

print(f"정의식: {var1:.2f}, 전개식: {var2:.2f}")

결과:

정의식: 8.00, 전개식: 8.00

같은 값이죠!