[수학] 연속 확률 변수의 기대값 수식은 어떻게 유도될까?

 

📘 연속 확률 변수의 기대값 수식은 어떻게 유도될까?

기대값(Expectation) 은 통계학과 확률 이론에서 매우 중요한 개념입니다.
특히 연속 확률 변수에서는 이 기대값이 어떻게 정의되고 유도되는지 이해하는 것이 핵심인데요, 오늘은 그 수식이 어떤 과정을 거쳐 등장하는지 자세히 살펴보겠습니다.

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🔍 이산 확률 변수에서 출발하기

먼저, 이산(discrete) 확률 변수의 경우 기대값은 이렇게 정의됩니다:

$$\mathbb{E}[X]=\sum _i{x}_i\cdot P(X=x_i)$$

• $x_i$: 확률 변수 $X$가 가질 수 있는 값

• $P(X = x_i)$: 그 값이 나올 확률

즉, 각각의 값에 그 확률을 곱하고 모두 더한 것, 말하자면 확률 가중 평균입니다.

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🔁 연속 확률 변수에서는 왜 적분이 필요할까?

하지만 연속 확률 변수는 무한히 많은 값을 가질 수 있습니다.
이 경우 각각의 $x$에 대해 확률 $P(X = x)$는 0이 되므로, 더 이상 합으로 기대값을 구할 수 없습니다.

그래서 우리는 개념을 합(∑) 에서 적분(∫) 으로 확장합니다.

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📐 확률 밀도 함수로 기대값 정의하기

연속 확률 변수는 확률을 확률 밀도 함수 (PDF: Probability Density Function) 로 표현합니다.

이때 기대값은 다음과 같이 정의됩니다:

$$\mathbb{E}[X]={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot p(x)dx$$

• $p(x)$: 확률 밀도 함수 (x가 나올 가능성의 상대적 크기)

• $x \cdot p(x)$: 각 x 값이 기대값에 기여하는 정도

• 이를 모든 x에 대해 적분하면 평균값(기대값)이 나옵니다.

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✅ 예제로 보는 기대값 계산: 균등 분포

가장 간단한 예는 0과 1 사이의 균등 분포입니다:

$$p(x)=1\text{for }0\le x\le 1$$

이 경우 기대값은:

$$\mathbb{E}[X]={\int }_0^{1}x\cdot 1dx={\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^1=\frac{1}{\mathrm{2}}$$

즉, 0과 1 사이에서 평균적으로 값이 나올 기대 위치는 0.5, 직관과 일치합니다.

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❓ $p(x) = 1$의 의미는?

처음 보면 이상하게 느껴질 수 있지만,
이건 “0부터 1까지 모든 값이 동등한 확률 밀도로 존재한다”는 뜻입니다.
즉, 이 구간 내의 모든 값은 같은 확률 밀도를 갖고 있으며, 전체 구간의 확률은 다음처럼 1이 됩니다:

$${\int }_0^{1}p(x)dx={\int }_0^{1}1dx=1$$

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🧠 마무리 요약

• 연속 확률 변수의 기대값은 확률 밀도 함수를 이용해 적분으로 정의합니다.

• 이산 확률 변수의 가중 평균 개념이 적분으로 자연스럽게 확장된 것이라고 볼 수 있습니다.

• $\mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot p(x) dx$ 는 연속 확률 변수의 평균을 구하는 기본 수식입니다.