[수학] 유리수의 조밀성: 실수의 빈틈을 메운 위대한 아이디어

 

📘 유리수의 조밀성: 우연이 아닌 필연의 발견

우리는 학교에서 "어떤 두 실수 사이에도 유리수가 존재한다"는 사실을 배웁니다. 이 성질을 수학적으로는 **유리수의 조밀성(density of rational numbers)**이라고 부르며, 실수 체계의 기초 중 하나입니다.
그렇다면 이 개념은 단순한 관찰에서 비롯된 것일까요, 아니면 수학적 필요에 의해 발견된 것일까요?

🔍 유리수의 조밀성이란?

간단히 말해, 두 수 $a < b$ 사이에 항상 $a < r < b$를 만족하는 유리수 $r$가 존재한다는 성질입니다. 이를 수학적으로 다음과 같이 증명할 수 있습니다:

정리: 임의의 실수 $a < b$에 대해, $a < \frac{p}{q} < b$를 만족하는 유리수 $\frac{p}{q}$가 존재한다.

아이디어:

1. $b - a > 0$이므로 어떤 양의 정수 $q$에 대해 $\frac{1}{q} < b - a$가 되도록 할 수 있음

2. $aq < bq$이므로 $aq$보다 큰 정수 $p$가 $bq$보다 작게 존재함

3. 이때 $\frac{p}{q}$는 $a < \frac{p}{q} < b$를 만족함

이렇게 유리수는 실수의 어느 위치든 원하는 정확도로 "가깝게" 근사할 수 있습니다.

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🧠 역사적으로 왜 중요했을까?

1. 수의 연속성과 실수 개념의 정립

17~18세기까지는 수학자들이 "수직선 상의 모든 점은 수로 표현된다"는 직관은 있었지만, 이를 논리적으로 증명할 수 없었습니다.
19세기, 리만과 코시, 데데킨트 등의 수학자들은 엄밀한 분석(해석학)을 수립하면서 "실수란 무엇인가?"에 대한 정의를 고민하게 되었습니다.

예를 들어 √2는 유리수가 아니지만, 유리수들을 잘 나열하면 √2에 점점 가까워지는 수열을 만들 수 있습니다.
그런데 이게 가능한 이유가 바로 유리수가 조밀하게 분포되어 있기 때문입니다.

2. 데데킨트 절단(Dedekind Cut)의 핵심

데데킨트는 실수를 유리수 집합의 절단(cut)으로 정의했습니다.
이 정의는 유리수 집합이 연속적이지 않고 빈틈이 있음을 인식하고, 그 빈틈을 실수로 채워 넣기 위해 고안된 방법입니다.
이때 "절단"이 제대로 작동하려면, 유리수가 충분히 "촘촘히" 퍼져 있어야 하고, 이는 바로 조밀성이 보장해 줍니다.

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🧪 조밀성은 지금도 쓰인다

• 컴퓨터의 실수 계산: 컴퓨터는 유리수(또는 유리수에 가까운 유한 소수)로 실수를 근사합니다.

• 함수 해석: 함수가 연속인지 판별하거나 극한을 계산할 때도, 유리수의 조밀성이 바탕이 됩니다.

• 측정과 공학적 수치 근사: 실제 수치를 유한한 소수로 계산하는 모든 분야는 조밀성 위에 서 있습니다.

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✅ 정리하며

유리수의 조밀성은 단순히 "두 수 사이에 유리수가 있다"는 관찰로 시작되었지만,
실수 체계의 정립, 수학적 연속성, 측정 가능성, 현대 해석학의 기반 등 수많은 필요에 의해 중심 개념으로 자리 잡은 수학적 성질입니다.

이 조밀성 덕분에 우리는 실수의 복잡한 구조를 유리수라는 친숙한 대상만으로도 접근하고 이해할 수 있습니다.