[수학] 랜덤워크와 드리프트 확률

랜덤워크와 드리프트 확률 $p = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{\mu}{\sigma} \sqrt{\Delta} \right)$의 해부

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🧩 문제의 수식

금융 모델에서 아주 자주 등장하는 랜덤워크(random walk) 또는 브라운 운동 근사에서 다음과 같은 확률 수식이 나옵니다.

$$p = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{\mu}{\sigma} \sqrt{\Delta} \right)$$

이 식은 시간 간격 $\Delta$ 동안 자산이 한 단계 위로 움직일 확률 $p$를 나타냅니다.
그런데 왜 확률이 이런 형태를 띠는 걸까요?

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🎲 랜덤워크와 드리프트의 개념

랜덤워크란 매 시간마다 가격이 위로 또는 아래로 같은 폭만큼 움직이는 과정을 말합니다.
하지만 현실의 자산은 완전히 무작위는 아니고, 조금씩 한 방향으로 치우치는 경향(drift, $\mu$)이 있습니다.
그리고 그 움직임의 진폭 정도는 변동성(volatility, $\sigma$)로 측정합니다.

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🔍 직관적으로 해석하면?

• $\mu$는 방향성 (평균적으로 어디로 가는가?)

• $\sigma$는 요동 정도 (얼마나 불규칙하게 움직이는가?)

• $\Delta$는 시간 간격 (짧은 시간 동안 얼마나 움직일 수 있나?)

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⚙️ 수식 유도 아이디어

이항 모형(binomial model)을 사용해보면, 자산 가격이 매 시간 $\Delta$마다 다음과 같이 움직입니다.

• 위로 오를 확률 $p$, 아래로 떨어질 확률 $1 - p$
  

• 한 번 오를 때 $+\epsilon$, 떨어질 때 $-\epsilon$ 만큼 변화

이동한 기대값과 분산은 다음과 같습니다:

• 기대값:

  $$\text{E}[X]=pϵ+(1-p)(-ϵ)=(2p-1)ϵ$$

• 분산:

  $$\text{Var}[X]={ϵ}^2(1-(2p-1{)}^2)=4p(1-p){ϵ}^2$$

이제, 브라운 운동의 이론적 특성 (즉, 평균 $\mu \Delta$, 분산 $\sigma^2 \Delta$)에 맞추기 위해 다음과 같이 맞춰야 합니다:

$$(2p-1)ϵ=\mu \mathrm{\Delta },4p(1-p){ϵ}^2={\sigma }^2\mathrm{\Delta }$$

보통 $\epsilon = \sigma \sqrt{\Delta}$로 두고 위 식에 대입하면, $p$에 대한 식이 유도됩니다. 이 과정을 정리하면:

$$p = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{\mu}{\sigma} \sqrt{\Delta} \right)$$

✨ 핵심 정리

• 이 수식은 이항모형으로 브라운 운동을 근사할 때 등장합니다.

• $\mu$가 클수록 위로 오를 확률이 절반보다 커지고,

• $\sigma$가 클수록 그 영향은 완화됩니다.

• $\mathrm{\Delta }\to \mathrm{0일\; 때\; 확률은\; 거의\; 0.5에\; 수렴하고,\; 모델은\; 브라운\; 운동에\; 가까워집니다.}$

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📚 이 수식을 이해하기 위해 필요한 수학 커리큘럼

수식을 제대로 이해하려면 아래 주제들을 순서대로 공부하는 것을 권장합니다:

1. 수학 기초

• 함수, 그래프, 미분·적분

• 지수, 로그, 극한

📘 Calculus – James Stewart
📘 Precalculus – Ron Larson

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2. 확률과 통계

• 이산/연속 확률변수

• 기댓값, 분산, 이항/정규 분포

• 중심극한정리

📘 A First Course in Probability – Sheldon Ross
📘 Introduction to Probability – Bertsekas & Tsitsiklis

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3. 선형대수와 벡터 해석 (선택 사항)

• 벡터, 행렬 연산

• 선형 결합과 분산-공분산

📘 Linear Algebra Done Right – Sheldon Axler

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4. 확률과정 & 금융수학 입문

• 랜덤워크, 브라운 운동

• 이항모형, Black-Scholes 모형 개요

• Ito 보조정리 (선택)

📘 Stochastic Processes – Sheldon Ross
📘 Stochastic Calculus with Applications – Klebaner
📘 Options, Futures, and Other Derivatives – John Hull

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이 커리큘럼을 차근차근 따라가면 수식뿐 아니라 금융수학 전체 구조에 대한 직관도 함께 키울 수 있습니다.