[수학] 왜도(Skewness) 공식, 어떻게 유도되었을까?

 

📊 왜도(Skewness) 공식, 어떻게 유도되었을까?

통계학을 공부하다 보면 자연스럽게 만나게 되는 개념이 바로 **왜도(skewness)**입니다. 데이터가 어느 한쪽으로 치우쳐 있는지를 수치로 표현한 것이죠.

그런데 이런 궁금증이 생길 수 있습니다:

“왜 편차를 세제곱하지? 왜 표준편차로 나누는 걸까? 그냥 외워야 하는 공식일까?”

이번 글에서는 왜도 공식이 왜 그렇게 생겼는지, 그리고 수학적으로 어떤 의미가 있는지를 차근차근 살펴보겠습니다.

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📌 왜도란?

왜도(skewness)는 분포의 **비대칭성(asymmetry)**을 측정합니다.

• 정규분포처럼 좌우가 대칭이면 → 왜도 = 0

• 오른쪽 꼬리가 길면 → 양(+)의 왜도

• 왼쪽 꼬리가 길면 → 음(-)의 왜도

🔍 그렇다면 대칭성을 어떻게 수식으로 표현할까요?

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📐 1. 평균 기준으로 편차를 본다

분포의 중심은 **평균(μ)**입니다. 데이터가 평균을 기준으로 얼마나 벗어났는지를 보려면:

$$x_i-\mu$$

를 살펴보면 됩니다. 이것을 **편차(deviation)**라고 합니다.

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🔁 2. 방향성까지 고려하고 싶다면?

우리는 “오른쪽으로 치우쳤는가? 왼쪽으로 치우쳤는가?”를 알고 싶습니다.

그런데 보통 사용하는 분산은 이렇게 생겼죠:

$${\sigma }^2=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-\mu {)}^2$$

여기서 제곱을 하다 보니, 편차가 음수든 양수든 모두 양수로 바뀌어서 방향성이 사라집니다.

💡 해결책: 세제곱

편차를 세제곱하면 다음과 같은 특성이 생깁니다:

• 음수^3 → 음수

• 양수^3 → 양수
  → 즉, **방향성(왼쪽/오른쪽)**을 유지합니다!

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🔢 3. 왜도 공식 도출

자, 이제 세제곱한 편차의 평균을 구해봅시다:

$$\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-\mu {)}^3$$

이것만으로는 단위가 복잡해요. 편차는 원래 단위의 “세제곱”이니까요.

🧼 표준화(Standardization)

그래서 **표준편차(σ)**로 나누어 단위를 없애고 비교 가능하게 만들어줍니다:

$$\text{Skewness}=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{\left(\frac{x_i-\mu }{\sigma }\right)}^3$$

또는,

$$\text{Skewness}=\frac{\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-\mu {)}^3}{{\sigma }^{\mathrm{3}}}$$

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🎯 최종 요약: 왜도 공식은 이렇게 유도된다!

단계	설명
(1) 평균 기준 편차 구하기	$x_i - \mu$
(2) 방향성 포함 위해 세제곱	$(x_i - \mu)^3$
(3) 평균 구하기	$\sum (x_i - \mu)^3 / N$
(4) 단위 정규화	$/\sigma^3$

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📘 보너스: 왜도가 의미하는 것

왜도 값	해석
= 0	완전 대칭
> 0	오른쪽 꼬리(양의 왜도)
< 0	왼쪽 꼬리(음의 왜도)

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✅ 마무리

왜도 공식은 단순히 외우기 위한 수식이 아니라, 데이터의 비대칭성을 수치화하려는 매우 논리적인 수학적 구성입니다. 이제부터는 왜도 공식을 볼 때마다 그 의미가 머릿속에 자연스럽게 떠오를 거예요!