[알고리즘 트레이딩] 주가의 무작위성, 그리고 z-score로 보는 ‘극단적인’ 가격

5월 29, 2025

📊 주가의 무작위성, 그리고 z-score로 보는 ‘극단적인’ 가격

주식 시장에서의 가격 움직임은 겉보기엔 복잡하고 무질서하지만, 수학적 관점에서 보면 하나의 패턴을 가지고 있습니다. 바로 **랜덤 워크(Random Walk)**와 **브라운 운동(Brownian Motion)**입니다.

이 글에서는 이 무작위적인 움직임의 성질을 이해하고, 그 안에서 z-score를 이용해 ‘지금 가격이 얼마나 극단적인 상태인지’ 판단하는 방법을 정리합니다.

🌀 주가의 무작위적 움직임 – 랜덤 워크와 브라운 운동

주가의 등락은 단순히 기업 실적만으로 결정되지 않습니다.

글로벌 경제 뉴스
금리 변동, 환율 변화
경쟁사 이슈, 갑작스러운 수급
투자자들의 기대와 공포

이처럼 수많은 요인들이 시장에 동시에 작용하면서, 주가는 **단기적으로 예측이 불가능한 무작위적 움직임(randomness)**을 보입니다.

이런 움직임은 다음과 같은 수학 모델로 설명됩니다:

✅ 랜덤 워크(Random Walk)

매 시점마다 오를 확률과 내릴 확률이 같다고 가정
한 걸음 한 걸음이 무작위이기 때문에, 시간이 지남에 따라 평균은 0으로 수렴
그러나 움직이는 거리의 제곱 평균은 누적되기 때문에, 점점 더 평균에서 멀어진 위치에 있을 확률도 증가

✅ 브라운 운동(Brownian Motion)

랜덤 워크의 한계를 보완한 연속적 시간 모델
미분방정식을 통해 분석할 수 있음
지수적 증가/감소를 반영할 수 있도록 확장하면 기하 브라운 운동(Geometric Brownian Motion) → 주가 모델링에 자주 사용됨

🎯 평균은 0인데, 왜 멀어질까?

랜덤 워크에서의 핵심은 다음과 같습니다:

한 걸음의 기대값(average)은 0이지만
여러 걸음이 누적되면 평균으로부터 멀어진 위치에 있을 확률도 커진다
이를 설명하기 위해 **제곱의 평균 (expected value of squared distance)**를 사용함

수학적으로는 다음과 같이 표현됩니다:

E [R_{N}] = 0 (평균 위치는 0)

E [R_{N}^{2}] = N (제곱된 위치의 평균은 시간에 비례해 증가)

이 말은, 평균적으로는 ‘그 자리에 머물지만’, 실제로는 떨어져 있을 확률이 점점 증가한다는 의미입니다. 이때 루트를 씌워 거리로 환산하면:

\text{평균 거리} = \sqrt{E[R_N^2]} = \sqrt{N}

즉, 시장 참가자들은 평균으로 돌아가는 듯하지만, 실제 위치는 점점 더 평균에서 멀어질 수 있습니다.

💡 z-score란 무엇인가?

이런 무작위적 움직임 속에서 현재 가격이 평균에서 얼마나 벗어나 있는지 측정하는 도구가 바로 z-score입니다.

z = \frac{X - μ}{σ​}

$X$ : 현재 주가
$\mu$ : 기준 기간의 평균 주가
$\sigma$ : 기준 기간의 표준편차

해석 예시:

z = 0 → 평균과 동일
z = +2 → 평균보다 2표준편차 위
z = –2 → 평균보다 2표준편차 아래
|z| > 2 → 비정상적이거나 극단적인 상태

🧭 z-score는 어디에 쓰이나?

z-score는 단순히 "극단적인가?"를 넘어서 다양한 실전 트레이딩 전략에 활용됩니다.

1. 평균 회귀 전략 (Mean Reversion)

가격은 일시적으로 평균에서 벗어나지만 다시 돌아온다고 가정
z-score가 ±2를 넘으면 평균으로 회귀할 가능성 ↑
예:
- z < –2 → 너무 과매도 → 매수
- z > +2 → 너무 과매수 → 매도

2. 볼린저 밴드 (Bollinger Bands)

중심선: 이동 평균
상단/하단 밴드: 평균 ± 2 × 표준편차
밴드를 돌파한 시점은 z-score가 ±2를 넘는 순간

3. 쌍둥이 트레이딩 (Pairs Trading)

상관관계가 높은 두 종목의 가격 차이를 추적
이 차이의 z-score를 기준으로 거래 진입/청산

4. 기타 활용

거래량의 z-score → 폭발적인 거래량 판단
기술적 지표(RSI, MACD 등)의 z-score → 기준선에서의 편차 분석
VWAP 대비 z-score → 시장의 공정 가치 대비 현재 위치 판단

🔍 왜 ‘극단성’ 판단에 유용한가?

주가는 무작위적이지만, 시장은 항상 어느 정도의 평균 회귀 특성을 갖습니다.
즉, 완전한 무작위는 아니며, 비정상적인 상태는 시간이 지나며 다시 평균으로 돌아가려는 경향이 있습니다.

이런 점에서 z-score는 다음과 같은 판단을 가능하게 합니다:

현재가가 평소 움직임의 ‘정상 범위’ 안에 있는가?
극단적인 움직임이라면, 반전 가능성은 있는가?
포지션 진입이나 청산의 타이밍은 적절한가?

✅ 결론: 무작위 속의 통계적 판단 도구

“예측은 어렵다. 특히 미래에 대해서는.”
— Niels Bohr

하지만 우리는 무작위 속에서도 통계적 힌트를 얻을 수 있습니다.
**z-score는 주가의 무작위성 위에 얹을 수 있는 ‘질서의 잣대’**입니다.

평균에서 얼마나 멀어졌는가?
이건 평소보다 이상한가?
평균으로 다시 돌아올 확률은 얼마나 될까?

이러한 질문에 z-score는 간결하고 강력한 답을 제공합니다.

📎 보너스: Python에서 z-score 계산 예시

import pandas as pd

def calculate_zscore(series, window=20):
    rolling_mean = series.rolling(window).mean()
    rolling_std = series.rolling(window).std()
    z_score = (series - rolling_mean) / rolling_std
    return z_score

위 함수를 사용하면 가격 시계열의 z-score를 계산해, 평균 대비 현재 위치의 비정상성을 정량적으로 분석할 수 있습니다.

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