[수학] 유리 다항식으로 정규분포 근사하기

6월 02, 2025

유리 다항식으로 정규분포 근사하기: 퀀트 투자에서의 활용과 샘플 코드

금융 데이터 분석과 퀀트 투자 전략을 개발할 때, 정규분포(Normal Distribution)는 매우 중요한 개념입니다. 수많은 금융 변수들이 정규분포를 따르는 것으로 가정하고, 이를 기반으로 위험 관리, 옵션 가격 결정, 통계적 모델링 등을 수행하기 때문입니다.

하지만 정규분포의 누적분포함수(CDF)는 적분 형태로 되어 있어 계산이 복잡할 수 있습니다. 이를 간단하고 빠르게 계산하기 위한 방법 중 하나가 유리 다항식(Rational Polynomial)으로 근사하는 기법입니다.

1. 정규분포란?

정규분포는 평균(μ)과 표준편차(σ)로 완전히 결정되는 확률분포입니다.
확률밀도함수(PDF)는 다음과 같습니다.

f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}}

그리고 누적분포함수(CDF)는 PDF를 적분한 값으로, 임의의 값 $x$ 이하가 나올 확률을 나타냅니다.

2. 누적분포함수 계산의 어려움

CDF는 적분 형태로 되어 있어서,

Φ (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t

직접 계산이 어렵고, 수치 적분을 쓰거나 테이블을 참조해야 합니다. 이런 계산이 수천, 수만 번 반복되면 컴퓨팅 비용이 커집니다.

3. 유리 다항식 근사란?

유리 다항식은 분자와 분모가 모두 다항식인 함수입니다. 예를 들어,

R (x) = \frac{a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots}{b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2} + \dots​}

복잡한 함수를 이런 간단한 식으로 근사하면 계산이 매우 빨라집니다. 특히 정규분포 CDF를 이렇게 근사하는 기법이 많이 연구되어 있습니다.

대표적인 예는 **Abramowitz & Stegun (1964)**의 근사식이며, 현대 컴퓨터 통계 라이브러리들도 이와 유사한 방법을 내부적으로 사용합니다.

4. 퀀트 투자에서의 활용

옵션 가격 계산 : 블랙-숄즈 모델에서 정규분포 CDF 계산이 필수. 근사식을 이용해 실시간으로 빠른 가격 산출 가능.
VaR (Value at Risk) 계산 : 자산 수익률 분포를 정규분포로 가정할 때, 위험 임계값 계산에 활용.
통계적 신호 생성 : 가격 변동성이나 수익률 변화의 확률 평가 시, 정규분포 기반 확률 계산에 사용.

5. Python 샘플 코드

아래는 유리 다항식으로 정규분포 CDF를 근사하는 간단한 함수 예시입니다.

import math

def rational_approximation(z):
    # Abramowitz & Stegun formula 7.1.26
    t = 1.0 / (1.0 + 0.2316419 * abs(z))
    d = 0.3989423 * math.exp(-z * z / 2.0)
    prob = d * t * (0.3193815 + t * (-0.3565638 + t * (1.781478 + t * (-1.821256 + t * 1.330274))))
    if z > 0:
        return 1 - prob
    else:
        return prob

# 테스트
for z in [-2, -1, 0, 1, 2]:
    print(f"z = {z}, CDF approx = {rational_approximation(z):.6f}")

6. 마무리

유리 다항식을 통한 정규분포 근사는 수치 계산 비용을 획기적으로 줄이며, 특히 퀀트 분야에서 실시간 전략 실행과 시뮬레이션에 큰 도움을 줍니다.

정규분포를 자주 활용하는 금융 모델링에서 이 근사법을 이해하고 적용하면 효율성과 정확도 두 마리 토끼를 잡을 수 있습니다.

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