[투자] 장기 수익률의 진짜 얼굴: 기하 평균과 그 근사 공식

6월 20, 2025

📈 장기 수익률의 진짜 얼굴: 기하 평균과 그 근사 공식

투자 수익률을 이야기할 때 우리는 흔히 **"평균 수익률이 몇 %냐"**고 묻습니다. 하지만 이 질문은 단순해 보여도, 그 안에는 두 가지 전혀 다른 개념이 숨겨져 있습니다. 바로 **산술 평균(Arithmetic Average)**과 **기하 평균(Geometric Average)**입니다.

장기 투자를 이해하려면, 반드시 이 둘의 차이와 그 의미를 알아야 합니다. 특히 기하 평균 수익률은 진짜 장기 성과를 나타내는 수치이며, 오늘 소개할 근사 공식은 이를 빠르고 간단하게 추정할 수 있는 강력한 도구입니다.

✅ 산술 평균 vs. 기하 평균, 뭐가 다를까?

🔹 산술 평균 (Arithmetic Average)

산술 평균 = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} r_{i​}

단순히 모든 수익률을 더해 나눈 값
매년 수익률이 같다고 가정할 때 유효
단기 수익률, 기대값 등에 사용

🔹 기하 평균 (Geometric Average)

기하 평균 = {(\prod_{i = 1}^{n} (1 + r_{i}))}^{1 / n} - 1

수익률이 복리로 누적된 결과를 고려
장기적으로 실현되는 실제 수익률을 정확히 반영
투자 결과가 요동칠수록(=변동성 ↑), 기하 평균은 산술 평균보다 작아짐

🔍 예시:

첫 해 +20%, 둘째 해 -20%:
- 산술 평균: (0.2 + (-0.2)) / 2 = 0%
- 기하 평균:
  $(1.2 \times 0.8)^{1 / 2} - 1 \approx - 2.0 %$
  → 실제로는 손해!

📉 변동성이 기하 평균을 깎아먹는다

이제 핵심 개념이 나옵니다:

수익률이 변동성이 클수록, 실제 장기 수익률(기하 평균)은 산술 평균보다 낮다.

이 현상은 수학적으로 다음과 같은 근사 공식으로 설명됩니다.

💡 기하 평균 수익률 근사 공식

기하 평균 \approx 산술 평균 - \frac{1}{2} \cdot 분산

또는,

Geometric Mean \approx Arithmetic Mean - \frac{1}{2} \cdot (표준편차)^{2}

✔️ 이 공식의 의미:

전체 수익률을 몰라도, **평균과 변동성(표준편차)**만으로 기하 평균을 빠르게 추정할 수 있음
특히 장기 투자에서 실제 기대 수익률을 보수적으로 추정할 때 유용

📊 파이썬 코드 예제 (S&P 500)

import yfinance as yf

# 50년치 S&P 500 데이터 다운로드
SP500 = yf.download('^GSPC', start='1971-12-31', end='2021-12-31')
SP500 = SP500.resample('Y').last()  # 연말 종가 사용
SP500['ret'] = SP500['Close'].pct_change()

# 통계값 계산
mean = SP500['ret'].mean()
std = SP500['ret'].std()
geom = (SP500['Close'].iloc[-1] / SP500['Close'].iloc[0]) ** (1/(len(SP500)-1)) - 1
approx = mean - 0.5 * std**2

# 출력
print("산술 평균 수익률:", round(mean * 100, 2), "%")
print("표준편차:", round(std * 100, 2), "%")
print("기하 평균 수익률:", round(geom * 100, 2), "%")
print("기하 평균 근사값:", round(approx * 100, 2), "%")

📎 결과 예시 (실제 결과는 시점에 따라 약간 다름):

항목	값
산술 평균 수익률	약 11%
표준편차	약 16%
기하 평균 수익률	약 9.5%
기하 평균 근사값	약 9.2%

→ 근사값이 꽤 정확하며, 변동성이 클수록 기하 평균은 더 많이 깎인다는 사실을 보여줍니다.

🧾 마무리: 왜 이걸 알아야 할까?

장기 투자는 복리(compounding)의 예술입니다.
복리의 본질은 기하 평균에 있고, 단순히 수익률의 평균만 보는 것은 위험한 착각을 불러올 수 있습니다.

그리고 그 기하 평균을 빠르고 쉽게 추정할 수 있는 근사 공식은 다음을 알려줍니다:

“높은 수익률만큼이나, 낮은 변동성도 중요하다.”

이 한 줄이 바로 퀀트 투자, 자산 배분, 리스크 관리의 출발점이 됩니다.

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