[투자] 기하 브라운 운동(Geometric Brownian Motion)이란?

6월 20, 2025

📘 기하 브라운 운동(Geometric Brownian Motion)이란?

주가 시뮬레이션과 옵션 가격의 핵심 수학 모델

💡 주가가 어떻게 움직이는지를 수학적으로 표현할 수 있을까?

우리는 주가가 오르락내리락하는 모습을 매일 봅니다.
그 움직임이 전혀 예측 불가능하다고 느낄 수도 있지만, 금융공학에서는 이를 확률 모델로 설명하려는 시도를 합니다.

그 중 가장 대표적인 모델이 바로 **기하 브라운 운동(GBM, Geometric Brownian Motion)**입니다.
GBM은 주가가 로그정규분포를 따른다는 가정을 기반으로, 다양한 파생상품 가격 결정과 리스크 분석에 활용됩니다.

🧮 GBM 수식의 형태

GBM은 다음과 같은 **확률 미분 방정식(SDE)**으로 표현됩니다:

\frac{d S}{S} = μ d t + σ d z

$S$ : 주가
$\mu$ : 기대 수익률
$\sigma$ : 변동성 (표준편차)
$dz$ : 표준 정규분포를 따르는 무작위 요소 (브라운 운동)

이 식은 아래와 같이 정리됩니다:

S_{t + Δ t} = S_{t} \cdot \exp [(μ - \frac{1}{2} σ^{2}) Δ t + σ \sqrt{Δ t} \cdot z]

📊 이 수식이 의미하는 것

항목	의미
$\mu$	평균적으로 수익률이 어디로 향하는가
$\sigma$	수익률이 얼마나 흔들리는가 (위험도)
$z$	난수 → 매번 다른 주가 경로 생성 가능
지수(exp)	주가의 복리적 성장 반영

즉, GBM은 "평균적으로는 $\mu$ 만큼 성장하지만, $\sigma$ 수준으로 흔들리는" 수익률을 기반으로 주가를 시뮬레이션합니다.

📈 로그 수익률은 정규분포, 주가는 로그정규분포

GBM에서는 다음과 같이 수익률이 정규분포를 따릅니다:

\ln (\frac{S_{t + Δ t}}{S_{t}}) \sim N ((μ - \frac{1}{2} σ^{2}) Δ t, σ^{2} Δ t)

따라서:

로그 수익률은 정규분포를 따름
주가 그 자체는 로그정규분포를 따름 → 0보다 작아질 수 없음 (현실 반영)

🧪 왜 GBM이 중요한가?

📌 블랙-숄즈 모델의 핵심 구성 요소

옵션 가격 결정의 기초는 GBM을 따르는 주가 모델
리스크 중립 측정, 델타 헤징 전략 등이 GBM을 기반으로 만들어짐

📌 몬테카를로 시뮬레이션

수천 개의 주가 경로를 생성해 기대 수익, 옵션 가치 등을 계산할 때 활용

📌 퀀트 투자 및 리스크 분석

수익률이 정규분포라는 가정 하에 VaR(손실위험) 등을 수학적으로 계산

⚠️ GBM을 사용할 때 주의할 점

GBM 모델을 사용할 때 가장 중요한 것은 입력값(파라미터) 추정 방식의 일관성입니다.

예를 들어:

$\sigma$ (변동성)를 추정할 때는 반드시 연속 복리 수익률(log 수익률) 기반으로 해야 함
단순 수익률의 표준편차로 $\sigma$ 를 넣으면 모델이 틀어짐

🔁 요약

항목	설명
모델 이름	Geometric Brownian Motion (기하 브라운 운동)
목적	주가 시뮬레이션, 옵션 가격 결정 등
수식	$\frac{dS}{S} = \mu dt + \sigma dz$
주가 분포	로그정규분포
수익률 분포	정규분포
시뮬레이션 수식	$S_{t+\Delta t} = S_t \cdot \exp[(\mu - \frac{1}{2} \sigma^2)\Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t} \cdot z]$
주요 활용	블랙-숄즈, 몬테카를로, 퀀트 리스크 분석

📘 마무리: 단순함 속의 강력함

GBM은 단순한 수식처럼 보이지만, 금융 수학의 거의 모든 영역에 응용되는 매우 강력한 도구입니다.
주가의 랜덤한 움직임을 수학적으로 모델링하려면, GBM은 반드시 이해하고 있어야 하는 기본 개념입니다.

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