[수학] 증명: 모든 자연수는 소인수분해를 갖는다.

 

🧮 모든 자연수는 소인수분해를 갖는다 – 왜 그럴까?

📌 소인수분해란?

우리 모두 한 번쯤은 수학 시간에 이런 걸 해봤을 겁니다.

720 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5

이렇게 어떤 수를 소수만을 곱해서 표현하는 것을 소인수분해라고 합니다.
이때 곱해지는 소수들을 그 수의 **소인수(prime factors)**라고 부릅니다.

그런데 이런 궁금증이 생기지 않으셨나요?

❓ 모든 자연수는 정말 이런 식으로 소인수들로만 나눌 수 있을까?

오늘은 이 질문에 대한 수학적 증명을 차근차근 살펴보겠습니다.

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🎯 목표: 모든 자연수는 소인수분해를 갖는다

수학적으로는 이렇게 말할 수 있습니다.

정리(Theorem)
2 이상의 모든 자연수는 하나 이상의 소수들의 곱으로 표현될 수 있다.
즉, 소인수분해가 반드시 존재한다.

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🧪 수학적 증명 (귀류법 사용)

✅ 1. 모순을 가정해보자

먼저, 모든 수가 소인수분해를 갖는 것이 아닐 수도 있다고 가정해 보겠습니다.

그렇다면 분명히 소인수분해를 할 수 없는 자연수가 있을 텐데,
그중 가장 작은 자연수를 $n$이라고 정해 봅시다.

즉, $n$은 소인수분해가 불가능한 가장 작은 수입니다.

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✅ 2. $n$은 소수가 아님

만약 $n$이 소수라면?
소수는 자기 자신만을 인수로 가지므로,

$$n=n$$

이 자체가 소인수분해입니다. 따라서 모순입니다.

즉, $n$은 소수가 아니고, 합성수입니다.
(합성수란 소수가 아닌 2 이상의 자연수를 말합니다.)

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✅ 3. $n = a \times b$ 로 표현 가능

합성수인 $n$은 다음과 같이 두 자연수의 곱으로 나타낼 수 있습니다.

$$n=a\times b,\text{단, }1<a<n,1<b<n$$

이제 중요한 점은, $a$와 $b$는 모두 $n$보다 작다는 사실입니다.

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✅ 4. $a$와 $b$는 소인수분해 가능

우리는 $n$이 가장 작은 예외라고 가정했기 때문에,
그보다 작은 모든 수들은 소인수분해가 가능해야 합니다.

즉, $a$와 $b$는 각각 소인수분해가 존재합니다.

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✅ 5. $a \times b$ 역시 소인수분해 가능

이제 $a$와 $b$의 소인수분해 결과를 곱해주면,
자연히 $n = a \times b$도 소인수들의 곱으로 나타낼 수 있습니다.

예를 들어:

• $a = 6 = 2 \times 3$
  

• $b = 10 = 2 \times 5$
  

• $n = 60 = 2 \times 3 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$
  

이렇게 $n$도 소인수분해가 가능하네요!

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❌ 6. 모순 발생!

그런데 이건 앞에서 했던 가정과 모순됩니다.
우리는 애초에 $n$은 소인수분해가 불가능하다고 했으니까요.

따라서 “소인수분해가 불가능한 자연수”는 존재하지 않는다는 결론이 나옵니다.

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✅ 최종 결론

$$\boxed{\text{모든 자연수는 소인수분해를 갖는다!}}$$

수학에서는 이런 스타일의 논증을 "귀류법(또는 모순법)"이라고 합니다.
거짓이라고 가정했을 때 모순이 발생하면, 그 명제가 참임을 인정하는 방법이죠.