[수학] z-score 정규화: 왜 평균은 0, 표준편차는 1이 될까?

 

z-score 정규화: 왜 평균은 0, 표준편차는 1이 될까?

데이터 분석이나 통계에서 가장 자주 만나는 개념 중 하나가 바로 **z-score 정규화(표준화)**입니다.
그런데 왜 z-score를 구하면 데이터의 평균이 0, 표준편차가 1이 되는 걸까요?
이번 글에서는 그 이유를 수학적으로 쉽게 풀어보고자 합니다.

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1. z-score가 무엇인가요?

z-score는 어떤 값이 데이터 집합에서 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 표준편차 단위로 나타낸 값입니다.
즉,

$$z=\frac{x-\mu }{\mathrm{\sigma }}$$

여기서,

• $x$: 원래 데이터 값

• $\mu$: 데이터의 평균

• $\sigma$: 데이터의 표준편차

z-score를 계산하면 데이터가 “평균에서 얼마나 떨어져 있는지”를 알 수 있어, 서로 다른 척도의 데이터를 비교하거나 통계 모델에 넣을 때 매우 유용합니다.

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2. 평균이 0이 되는 이유

평균을 구하는 정의를 생각해봅시다. 어떤 확률 변수 $X$가 있을 때, 평균은 모든 값의 가중평균입니다.
이제 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$라고 정의하면,

$$E[Z]=E\left[\frac{X-\mu }{\sigma }\right]=\frac{1}{\sigma }E[X-\mu ]$$

$E[X - \mu]$는

$$E[X]-\mu =\mu -\mu =0$$

이므로,

$$E[Z]=0$$

즉, z-score로 변환된 값의 평균은 항상 0입니다.

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3. 표준편차가 1이 되는 이유

표준편차는 데이터가 평균으로부터 얼마나 퍼져있는지 나타내는 척도입니다.
분산 $Var(Z)$는 평균으로부터의 거리 제곱의 평균입니다.

$$Var(Z) = E[(Z - E[Z])^2] = E[(Z - 0)^2] = E[Z^2]$$
$$Z^2={\left(\frac{X-\mu }{\sigma }\right)}^2=\frac{(X-\mu {)}^2}{{\sigma }^{\mathrm{2}}}$$

따라서,

$$Var(Z)=\frac{1}{{\sigma }^2}E[(X-\mu {)}^2]=\frac{1}{{\sigma }^2}Var(X)$$

원래 $X$의 분산은 $\sigma^2$이므로,

$$Var(Z)=\frac{1}{{\sigma }^2}\times {\sigma }^2=1$$

즉, z-score는 표준편차가 1인 값으로 변환됩니다.

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4. 결론

z-score 정규화는 원래 데이터에서 평균을 빼고, 표준편차로 나누는 변환입니다.
이렇게 하면 변환된 값들은 항상 평균이 0이고 표준편차가 1인 분포를 갖게 됩니다.
이 덕분에 서로 다른 데이터들을 한눈에 비교하거나 통계 모델에 활용하기 좋습니다.