[수학] 컴퓨터는 어떻게 미적분을 계산할까?

컴퓨터는 어떻게 미적분을 계산할까?

우리가 학교에서 배우는 미적분은 철저히 극한의 개념에 기반합니다.
하지만 컴퓨터는 무한히 작은 값이나 무한히 큰 과정을 직접 다룰 수 없습니다.
그렇다면 컴퓨터는 어떻게 미분과 적분을 수행할까요?

1. 미분: 함수의 순간 변화율

📌 정의

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

즉, "무한히 작은 $h$ "가 필요합니다.
하지만 컴퓨터는 무한히 작은 값을 다룰 수 없으니 근사 또는 심볼릭 연산을 사용합니다.

(1) 수치적 미분

$h$ 를 매우 작은 값으로 두고 직접 계산:
$f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
더 정밀한 방법: 중심 차분
$f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$
문제: $h$ 가 너무 작으면 부동소수점 오차 때문에 정확도가 떨어집니다.

(2) 심볼릭 미분

수학적 규칙(합·곱·체인룰)을 적용해서 정확한 공식을 도출합니다.
예: $\sin(x^2)$ → $2x\cos(x^2)$

2. 적분: 넓이와 합의 극한

📌 정의

\int_a^b f(x)\, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x

역시 극한 기반의 정의입니다.

(1) 수치적 적분

무한히 많은 사각형을 그릴 수 없으니, 유한한 분할로 근사합니다.
대표적 방법:
- 사다리꼴 공식
- 심프슨 공식 (parabola 근사)
- 몬테카를로 적분 (확률적 샘플링)
분할을 세밀하게 할수록 정밀도가 올라갑니다.

(2) 심볼릭 적분

수학적으로 풀 수 있는 경우, 부정적분 공식을 구합니다.
예: $\int \sin x dx = -\cos x + C$
하지만 일부 함수(예: $\int e^{-x^2} dx$ )는 원시함수가 없기 때문에 수치적 적분으로만 계산됩니다.

3. 결국 핵심은 “근사와 정확성의 균형”

컴퓨터는 무한을 직접 다룰 수 없습니다.
따라서 미분·적분은
- 가능하면 심볼릭 연산으로 정확히 계산
- 불가능하면 수치적 근사로 해결
이때 중요한 건 유효 자릿수(precision)와 오차 관리입니다.

✅ 정리하면,
컴퓨터 속 미적분은 무한을 직접 다루는 게 아니라,
**“유한한 계산으로 무한을 흉내 내는 과정”**이라고 볼 수 있습니다.

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