기하급수의 합 공식, 어떻게 유도될까?

학교 수학에서 자주 등장하는 기하급수(geometric series).
공식만 외우고 넘어가는 경우가 많지만, 실제로는 간단한 아이디어로 유도할 수 있습니다.

1. 유한합부터 시작하기

기하급수의 $n$ 항 합은 다음과 같습니다.

S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}

여기서 $a$ 는 첫째항, $r$ 은 공비입니다.

이제 양변에 $r$ 을 곱해봅시다.

rS_n = ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} + ar^n

S_n - rS_n = a - ar^n

즉,

(1-r)S_n = a(1-r^n)

따라서 $r \neq 1$ 일 때,

\boxed{S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}}

👉 이것이 유한한 기하급수의 합 공식입니다.
만약 $r=1$ 이라면 단순히 $S_n = na$ 가 되겠죠.

이제 무한히 더하는 경우를 생각해봅시다.
무한급수의 합은 단순히 “끝까지 더한 값”이 아니라, 부분합의 극한값으로 정의됩니다.

S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{a(1-r^n)}{1-r}

여기서 핵심은 $|r| < 1$ 이면 $r^n \to 0$ 이 된다는 점입니다.

따라서,

\boxed{S = \frac{a}{1-r} \quad (|r|<1)}

반대로 $|r|\geq 1$ 이면 $r^n$ 이 0으로 가지 않으므로 합은 존재하지 않습니다(발산).

즉, 무한히 더해도 특정 값에 “수렴”하는 경우가 존재하며, 그 조건은 바로 $|r|<1$ 입니다.

👉 결론:
기하급수의 합 공식은 단순한 공식 암기가 아니라, 곱하고 빼는 작은 아이디어에서 시작됩니다.
공식을 외우기보다 유도 과정을 이해하면, 훨씬 직관적으로 다가올 거예요.