[퀀트] 포트폴리오 분산 수식 유도과정

 

포트폴리오 분산은 왜 이렇게 생겼을까?

— 정의에서 출발하는 완전한 유도

많은 금융·퀀트 책에서 포트폴리오 분산은 갑자기 다음과 같이 등장한다.

$$\sigma_p^2 = w^T \Sigma w$$

하지만 이 식은 기억해야 할 공식이 아니라,
아주 기본적인 분산의 정의에서 기계적으로 따라 나온 결과다.

이번 글의 목표는 단 하나다.

“이 식이 어디서 나왔는지, 단 한 줄도 점프하지 않고 이해하기”

---

1️⃣ 출발점: 분산의 정의

모든 것은 이 정의 하나에서 시작한다.

$$\mathrm{Var}(X) = \mathbb{E}\left[(X - \mathbb{E}[X])^2\right]$$

이 식이 말하는 것은 단순하다.

“X가 자기 평균에서 얼마나 흔들리는지를 제곱해서 평균 낸 값”

여기서:

• $X$ : 확률변수 (예: 자산 수익률)

• $\mathbb{E}[X]$ : 그 확률변수의 평균(기대값)

---

2️⃣ 자산 수익률은 왜 확률변수인가?

자산의 미래 수익률은 확정된 숫자가 아니다.

• 오를 수도 있고

• 내릴 수도 있고

• 그 크기도 매번 다르다

그래서 우리는 자산 수익률을 이렇게 둔다.

$$X = \text{자산 X의 수익률 (확률변수)}$$

그리고 과거 데이터로 평균을 추정한다.

$$\mathbb{E}[X] \approx \frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T} r_t$$

---

3️⃣ 포트폴리오 수익률 정의

이제 자산 2개짜리 포트폴리오를 보자.

• 자산 X 비중: $w_1$

• 자산 Y 비중: $w_2$

포트폴리오 수익률은 정의상

$$R_p = w_1 X + w_2 Y$$

👉 이건 모델이 아니라 정의다
(“돈을 이렇게 나눠 담았으면 수익률도 이렇게 섞인다”)

---

4️⃣ 포트폴리오 분산 정의에 그대로 대입

이제 분산 정의를 그대로 쓴다.

$$\mathrm{Var}(R_p) = \mathbb{E}\left[(R_p - \mathbb{E}[R_p])^2\right]$$

기대값의 선형성 때문에

$$\mathbb{E}[R_p] = w_1 \mathbb{E}[X] + w_2 \mathbb{E}[Y]$$

따라서

$$R_p - \mathbb{E}[R_p] = w_1 (X - \mathbb{E}[X]) + w_2 (Y - \mathbb{E}[Y])$$

---

5️⃣ 여기서 핵심: 제곱을 전개한다

$$(w_1 A + w_2 B)^2$$

이건 고등학교 때 배운 그대로다.

$$= w_1^2 A^2 + w_2^2 B^2 + 2w_1 w_2 AB$$

여기서

• $A = X - \mathbb{E}[X]$
  

• $B = Y - \mathbb{E}[Y]$
  

---

6️⃣ 기대값을 하나씩 적용

$$\mathrm{Var}(R_p) = \mathbb{E}[w_1^2 A^2] + \mathbb{E}[w_2^2 B^2] + 2w_1w_2\mathbb{E}[AB]$$

상수는 밖으로 뺀다.

$$= w_1^2 \mathbb{E}[A^2] + w_2^2 \mathbb{E}[B^2] + 2w_1w_2 \mathbb{E}[AB]$$

---

7️⃣ 여기서 등장하는 개념들

🔹 분산

$$\mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2] = \mathrm{Var}(X)$$

🔹 공분산

$$\mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])(Y - \mathbb{E}[Y])] = \mathrm{Cov}(X,Y)$$

---

8️⃣ 최종 결과 (자연스럽게!)

$$\boxed{ \mathrm{Var}(R_p) = w_1^2 \mathrm{Var}(X) + w_2^2 \mathrm{Var}(Y) + 2w_1 w_2 \mathrm{Cov}(X,Y) }$$

👉 어떤 가정도 없다
👉 확률분포도 필요 없다
👉 분산의 정의 + 대수 전개뿐

---

9️⃣ “분산은 모든 쌍의 상호작용이다”의 의미

이 식이 말하는 것:

• 각 자산 혼자 흔들리는 정도 → $w_i^2 \mathrm{Var}(X_i)$
  

• 자산들이 같이 흔들리는 정도 → $w_i w_j \mathrm{Cov}(X_i, X_j)$
  

👉 그래서 분산은

“모든 자산 쌍의 상호작용을 전부 더한 것”

이다.

왜 행렬식이 되는가?

자산이 2개면 위 식을 손으로 쓸 수 있다.
하지만 자산이 10개, 100개면?

👉 이중합(double sum) 이 필요해진다.

$$\sum_i \sum_j w_i w_j \mathrm{Cov}(X_i, X_j)$$

이걸 가장 깔끔하게 표현한 것이

$$\boxed{\sigma_p^2 = w^T \Sigma w}$$

이다.