[알고리즘 트레이딩] 수렴한다는 것은 같다는 의미인가?

수렴한다는 것은 같다는 의미인가?

수학을 공부하다 보면 "수렴한다"는 개념과 "같다"는 개념이 혼동될 때가 많다. 특히 등호(=)가 쓰이는 방식 때문에 혼란이 생기기도 한다. 이번 글에서는 수렴과 같음(동일성) 의 차이를 살펴보고, 등호의 함정에 대해 알아보자.

1. 등호(=)의 의미는 항상 같을까?

일반적으로 우리는 "같다" 라는 개념을 등호(=)로 표현하지만, 수학에서는 등호가 다른 문맥에서 다른 의미로 사용될 수 있다. 대표적으로 다음 세 가지 경우가 있다.

(1) 완전히 같은 경우 (Equality, 항등식)

예시:
$2 + 3 = 5$ $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
이 경우 등호(=)는 항상 성립하는 관계를 나타낸다.
어떤 값이든, 어떤 상황이든 이 식은 항상 참이다.

(2) 수렴하는 경우 (Limit, 극한 개념)

예시:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = 1$
이 표현은 무한히 더하면 1이 된다는 의미이다.
하지만 엄밀히 말하면 무한히 많은 항을 모두 더하는 순간은 없다.
따라서 더 정확한 표현은 다음과 같다. $\lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{2^n} = 1$
여기서 "= 1"은 "이 값으로 수렴한다(converges)"는 의미로 사용되었다.

(3) 근사값을 표현할 때 (Approximation)

예시:
$\pi = 3.141592...$
원주율 $\pi$ 는 무리수이므로 정확한 값이 존재하지 않는다.
하지만 정의된 상수이므로 등호를 사용하여 표현하는 것이 일반적이다.
근삿값을 사용할 때는 $\approx$ (거의 같다) 기호를 쓰는 것이 더 정확하다.

2. "수렴한다"는 것은 "같다"는 것과 동일한가?

이제 본론으로 돌아가서, 수렴한다는 것이 완전히 같다는 의미일까?

엄밀히 말하면 수렴과 같음은 다른 개념이다.

어떤 값이 수렴한다는 것은 무한히 가까워진다는 의미이지, 반드시 완전히 같다는 의미는 아니다.
예를 들어, 무한등비급수의 합이 특정 값으로 수렴할 수 있지만, 실제로 무한히 더하는 순간은 존재하지 않는다.
하지만 수렴값이 유일하게 결정될 때, 그 값을 급수의 합으로 정의하는 것이 일반적이므로 등호를 사용하기도 한다.

따라서, 수렴하는 값이 유일하게 존재할 때는 등호를 사용할 수 있지만, 본질적으로 "같다"는 개념과 "수렴한다"는 개념은 구별해야 한다.

3. 등호(=)의 함정

수학에서는 등호를 문맥에 따라 다르게 해석해야 한다.

진짜 같은 경우: $a = b$ (항등식, 대수적 관계)
수렴하는 경우: $\lim$ 기호를 사용하는 것이 정확하지만, 관습적으로 등호를 사용하기도 함
근사값을 사용할 때는 ≈ 기호를 써야 정확함

이 차이를 이해하지 못하면, "무한히 더했는데 어떻게 특정한 값이 나오지?"라는 혼란이 생길 수 있다. 따라서 수렴과 동일성을 구별하는 것이 중요하다.

결론

수렴(convergence) 과 동일성(equality) 은 같은 개념이 아니다.
하지만 수렴값이 유일할 경우, 급수의 합으로 정의하면서 등호를 사용하는 것이 일반적이다.
등호(=)는 문맥에 따라 다르게 해석될 수 있으므로 조심해야 한다.
"무한으로 기술해도 결국 특정 값에 수렴할 수 있다"는 것이 중요한 핵심 개념이다.

등호의 함정을 조심하면서, 수학적 개념을 더 깊이 이해해보자! 😊

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