[수학] 정규분포 식은 어떻게 유도된 걸까?

5월 27, 2025

📊 정규분포 식은 어떻게 유도된 걸까?

우리가 통계학에서 자주 마주치는 정규분포(Normal Distribution)는 마치 자연의 법칙처럼 여러 데이터에서 등장합니다. 종 모양의 부드러운 곡선, 평균 주변으로 몰리는 확률, 그리고 중심극한정리로부터의 강력한 이론적 뒷받침.

그렇다면 정규분포는 도대체 어떤 논리로 유도된 걸까? 이 글에서는 그 식이 어떤 전제와 과정으로부터 등장했는지를 차근차근 정리해 보겠습니다.

🎯 전제 조건: 어떤 분포를 만들고 싶은가?

우리가 다루고자 하는 오차 또는 데이터 분포는 다음과 같은 특성을 가진다고 가정합니다:

연속적인 확률 변수 $x$ 를 가진다.
평균 $\mu$ 를 중심으로 대칭이다.
평균에서 멀어질수록 확률은 급격히 줄어든다.
전체 확률은 1이어야 한다 (정규화 조건).
단순하면서도 위 조건들을 만족하는 형태여야 한다.

이러한 조건을 만족하는 함수 중에서, 가장 단순하고 많이 쓰이는 함수 형태는 다음과 같습니다:

f (x) = A e^{- k (x - μ)^{2}}

$A$ : 정규화 상수 (전체 면적이 1이 되도록)
$k$ : 분포의 폭(standard deviation와 관계)
$\mu$ : 평균 (분포의 중심)

🧮 정규분포 유도 과정 (Gaussian Distribution Derivation)

1단계: 함수 가정

우리는 위에서 말한 바와 같이 다음과 같은 형태를 가정합니다:

f (x) = A e^{- k (x - μ)^{2}}

이 함수는 평균을 기준으로 대칭이고, 평균에서 멀어질수록 지수적으로 확률이 작아집니다.

2단계: 정규화 조건 적용

확률 밀도 함수이므로 전체 면적은 반드시 1이 되어야 합니다.

\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1

\Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} A e^{-k(x - \mu)^2} dx = 1

변수 치환: $z = x - \mu$

\Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} A e^{-kz^2} dz = 1

여기서 등장하는 유명한 적분 결과가 있습니다:

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-kz^2} dz = \sqrt{\frac{\pi}{k}}

따라서:

A \cdot \sqrt{\frac{\pi}{k}} = 1 \quad \Rightarrow \quad A = \sqrt{\frac{k}{\pi}}

3단계: $k$ 를 표준편차 $\sigma$ 와 연결

우리는 정규분포를 다음 형태로 쓰는 것이 일반적입니다:

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{ -\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} }

위의 일반형과 비교하면,

k = \frac{1}{2\sigma^2}, \quad A = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}

따라서 최종 정규분포 함수는 다음과 같이 유도됩니다:

✅ 최종 정규분포 식 (Normal Distribution Formula)

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \cdot e^{ -\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} }

$\mu$ : 평균 (데이터의 중심)
$\sigma$ : 표준편차 (퍼짐 정도)
$x$ : 확률 변수
$f(x)$ : $x$ 근처에서의 확률 밀도

📌 요약: 왜 이 식이 나왔을까?

조건	결과
평균 기준 대칭	$(x - \mu)^2$ 등장
중심에서 멀수록 확률 감소	지수 함수 $e^{-x^2}$
전체 면적이 1	정규화 상수 $\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}$
퍼짐 정도 조절	분산 $\sigma^2$ 포함

📘 보너스: 중심극한정리로부터의 유도

조금 더 고급스럽게는, 독립적이고 동일한 분포를 따르는 랜덤 변수들이 많이 모이면 그 합은 정규분포에 가까워진다는 중심극한정리(Central Limit Theorem) 로부터도 이 식은 자연스럽게 도출됩니다. 이 내용은 별도 포스트에서 다루겠습니다.

🖊️ 마무리

정규분포는 단순한 우연이 아니라, 자연현상에서 관측된 규칙성과 수학적 최소 가정에 따라 유도된 결과입니다. 가장 단순하면서도 가장 강력한 분포. 그래서 정규분포는 여전히 통계학, 물리학, 금융, 머신러닝에서 핵심적인 위치를 차지하고 있습니다.

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