[알고리즘 트레이딩] 선형식을 합친다는 것의 의미: 모델링 관점에서의 해석

4월 15, 2025

수학이나 경제, 금융, 공학 등 다양한 분야에서 선형 모델은 널리 사용됩니다. 특히 시스템을 모델링할 때 선형식을 활용하면, 그 구조를 명확하게 분석하고, 조합하고, 예측하는 데 큰 장점을 제공합니다.

그렇다면 한 가지 질문이 생깁니다.

"두 개의 선형식을 더한다는 건 모델링 관점에서 어떤 의미일까?"

이 글에서는 이 질문에 대한 해석적 접근을 소개하고, 선형성의 장점을 실제 모델링 맥락에서 살펴보려 합니다.

선형식의 예시

우선 선형식의 형태는 다음과 같습니다:

z = α x + β y

여기서

$x, y$ : 독립 변수 (ex. 노동, 자본 등)
$\alpha, \beta$ : 각 변수에 대한 계수
$z$ : 종속 변수 (ex. 산출량, 수익 등)

두 선형식을 더하면?

예를 들어 아래 두 모델이 있다고 해봅시다.

모델 A: $z_1 = \alpha x_1 + \beta y_1$
모델 B: $z_2 = \alpha x_2 + \beta y_2$

이 둘을 단순히 더해보면:

z_{1} + z_{2} = α (x_{1} + x_{2}) + β (y_{1} + y_{2})

즉, 새로운 식:

Z = α X + β Y

가 성립합니다.
여기서 $X = x_1 + x_2$ , $Y = y_1 + y_2$ , $Z = z_1 + z_2$ 로 치환할 수 있죠.

수학적으로는 너무 당연한 이 합이, 모델링 측면에서는 꽤 흥미로운 의미를 지닙니다.

모델링 관점에서의 해석

1. 서로 다른 시스템 또는 관측의 기여 합

각 모델이 서로 다른 공장, 지점, 시장 등을 나타낸다고 가정하면, 이 둘의 선형 결합은 단순히 전체 시스템의 결과를 나타내게 됩니다.

예:

A: 공장 1의 생산량
B: 공장 2의 생산량
A + B: 전체 공장의 총 생산량

이때 선형성은 서로 다른 시스템의 기여를 단순히 더할 수 있게 해주는 구조적 도구가 됩니다.

2. 다양한 데이터 샘플의 결합

모델 A와 B가 서로 다른 시기나 지역의 데이터를 기반으로 만들어졌다면, 이들의 선형 결합은 그 시기나 지역을 포괄하는 전체적 경향 또는 평균적 거동을 설명할 수 있습니다.

3. 복합 시스템으로 확장 가능

각 모델이 서브 시스템을 설명하는 경우, 선형 구조를 유지하면서 결합할 수 있다는 건 곧, 전체 시스템에 대한 모델링이 가능하다는 의미입니다.

예:

하나는 수요, 다른 하나는 공급을 모델링
선형 결합을 통해 시장의 균형 모델로 확장 가능

선형성이 중요한 이유

선형 모델은 다음과 같은 수학적 성질을 지닙니다:

성질	설명
가법성 (Additivity)	효과들을 단순히 더해서 전체 효과를 설명할 수 있음
동차성 (Homogeneity)	변수들을 동일한 비율로 변화시키면 결과도 같은 비율로 변함
해석 용이성 (Interpretability)	각 독립 변수의 기여도를 명확히 파악 가능

이러한 성질 덕분에 선형식을 결합하는 작업이 모델링에서 강력한 수단이 되는 것입니다.

금융이나 경제에서의 해석

특히 금융에서는 여러 요인의 영향을 개별적으로 모델링하고, 이를 선형적으로 결합하는 일이 많습니다.

각 요인이 독립적일수록 선형 모델은 더욱 유용
예: 여러 자산의 수익률, 리스크 요인의 조합 등

이런 선형 결합은 포트폴리오 모델링, 위험 분석, 수요-공급 모형 등에서 중심적인 역할을 합니다.

결론

“선형식을 더한다는 것”은 단순한 수식의 합이 아니라,
여러 요소의 기여, 효과, 시스템을 결합하여 하나의 더 큰 시스템을 모델링한다는 의미를 가집니다.

선형성의 성질 덕분에 우리는 시스템을 분해하고, 각각을 해석한 후, 다시 자연스럽게 결합할 수 있는 유연한 구조를 갖게 됩니다.
이러한 접근은 경제, 금융, 공학, 자동화 등 다양한 분야에서 매우 유용하게 작용합니다.

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