[알고리즘 트레이딩] 로그 수익률, 정규분포, 그리고 평균 회귀 전략의 연결고리
퀀트 투자나 알고리즘 트레이딩을 공부하다 보면 로그 수익률, 정규분포, 그리고 **평균 회귀(mean reversion)**라는 개념이 자주 등장합니다. 이들은 각각 따로 존재하는 개념 같지만, 실제로는 서로 긴밀하게 연결되어 있으며 특히 통계적 트레이딩 전략의 핵심적인 이론적 기반이 됩니다.
이번 글에서는 이 세 가지 개념이 어떻게 연결되는지를 살펴보며, 퀀트 전략에서 어떤 식으로 응용되는지도 함께 알아보겠습니다.
🔢 로그 수익률이란?
로그 수익률은 다음과 같이 정의됩니다:
이는 단순 수익률과는 달리 시간에 따라 합산이 가능하고, 복리 구조에 적합하다는 특징이 있습니다. 또한, 로그 수익률을 사용하면 많은 경우 **정규분포(normal distribution)**를 가정하기 수월해지죠.
🎯 왜 정규분포 가정을 하는가?
금융 수학이나 퀀트에서는 로그 수익률이 정규분포를 따른다는 가정을 흔히 합니다. 그 이유는 다음과 같습니다:
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평균, 분산 등의 수학적 계산이 용이
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리스크 측정(Value at Risk, z-score 등) 가능
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확률적 극단 상황 계산 가능
즉, 정규분포는 통계적으로 다루기 매우 편한 분포이며, 많은 트레이딩 전략에서 수익률이 평균 주변으로 회귀한다는 가정을 가능하게 합니다.
🔁 평균 회귀 전략과의 관계
평균 회귀(mean reversion) 전략은 수익률이나 자산 가격이 일정한 평균(μ)으로 되돌아간다는 성질을 이용합니다.
예를 들어 다음과 같은 형태로 생각할 수 있습니다:
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현재 수익률이 평균보다 크면 → 향후 하락할 가능성
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현재 수익률이 평균보다 작으면 → 향후 상승할 가능성
즉, "지나치게 오른 건 언젠가 떨어지고, 지나치게 내린 건 다시 오른다"는 철학을 통계적으로 표현한 전략입니다.
🔗 정규분포와 평균 회귀의 연결
정규분포는 대부분의 값이 평균 근처에 몰려 있고, 평균에서 벗어날수록 발생 확률이 낮아집니다.
→ 이게 바로 평균 회귀 전략의 수학적 배경이죠!
이러한 관계는 확률 과정 모델에서도 명확히 드러납니다. 예를 들어 자주 사용되는 평균 회귀 확률 모델 중 하나인 Ornstein–Uhlenbeck 과정은 다음과 같습니다:
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이 수식의 해는 결국 정규분포를 따르며, 평균으로 수렴하는 성질을 가집니다.
⚙️ 실전 응용: 통계적 차익 거래
대표적인 응용 전략 중 하나가 z-score 기반 차익 거래입니다.
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z-score가 ±2 이상일 때: 평균에서 크게 벗어났다고 판단, 진입
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z-score가 0 근처로 수렴할 때: 평균 회귀했다고 판단, 청산
정규분포를 가정했기에 가능한 확률 기반 포지션 전략입니다.
✅ 요약
| 개념 | 의미 | 평균 회귀 전략과의 연결성 |
|---|---|---|
| 로그 수익률 | 연속 수익률, 시간적 누적에 강함 | z-score 등 통계 분석에 적합 |
| 정규분포 | 평균 중심의 확률 분포 | 평균에서 벗어날 확률 계산 가능 |
| OU 확률 과정 | 평균으로 수렴하는 확률 모델 | 이론적 기반 제공 |
| z-score | 표준화된 편차 지표 | 전략의 진입/청산 기준 설정 가능 |
🧠 마무리
정규분포와 평균 회귀, 로그 수익률은 단순히 '통계 개념'이 아니라, 실제 전략 설계와 포지션 운용에서 핵심 역할을 하는 도구입니다.
퀀트 트레이딩의 강점은 바로 이런 수학적·통계적 가정을 기반으로 정량적인 의사결정이 가능하다는 데에 있으니까요.
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