[알고리즘 트레이딩] 로그 수익률이 복리 효과를 반영하는 이유

📈 로그 수익률이 복리 효과를 반영하는 이유

복리 효과는 금융에서 매우 중요한 개념으로, 시간이 지남에 따라 이자나 수익이 원금에 추가되어 점차적으로 자산이 증가하는 방식입니다. 주식, 암호화폐, 채권 등의 자산 가격은 종종 복리 효과를 따르는 경향이 있기 때문에 이를 분석할 때 로그 수익률을 사용하는 것이 매우 유리합니다. 이번 글에서는 로그 수익률이 어떻게 복리 효과를 반영하는지, 그리고 그 이유에 대해 알아보겠습니다.

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1. 복리 효과란?

복리 효과(compound interest)는 시간에 따라 이자나 수익이 원금에 더해져, 다음 기간의 수익을 계산할 때도 이자가 더해져서 점점 더 많이 복리로 증가하는 방식입니다.

예를 들어, 만약 1000원이 1년 동안 **10%**의 이자를 받는다면, 1년 후 자산은 1100원이 됩니다. 그런데 2년째 이자를 계산할 때는, 1100원에 10%의 이자가 추가되어 1210원이 되는 방식입니다. 이처럼 시간이 지날수록 수익이 누적되며, 더 많은 수익을 낳게 되는 복리 효과가 적용됩니다.

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2. 로그 수익률이 복리 효과를 반영하는 이유

복리 효과를 설명할 때, 자산의 수익률을 계산하는 방식이 중요합니다. 로그 수익률은 바로 이 복리 효과를 자연스럽게 반영할 수 있는 수학적 특성을 가지고 있습니다.

2.1 일반적인 수익률 계산

일반적으로 자산의 단리 수익률은 다음과 같이 계산됩니다:

$$R=\frac{P_t-P_{t-1}}{P_{t-\mathrm{1}}}$$

여기서 $P_t$는 현재 자산 가격, $P_{t-1}$은 이전 자산 가격입니다.

2.2 로그 수익률 계산

반면, 로그 수익률은 연속적인 수익률을 다루며, 다음과 같은 수식으로 계산됩니다:

$$r=\log \left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right)$$

이때 중요한 점은 로그 수익률이 복리 효과를 반영한다는 것입니다. 여러 기간의 수익률을 덧셈으로 처리할 수 있기 때문에, 여러 기간에 걸친 복리 효과를 손쉽게 모델링할 수 있습니다.

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3. 복리 효과를 반영한 로그 수익률 예시

예를 들어, 자산 가격이 100원에서 시작하여 첫 번째 기간에 **10%**의 상승을 보인 후, 두 번째 기간에도 10% 상승한다고 가정해봅시다.

3.1 첫 번째 기간

첫 번째 기간 동안의 수익률은 10%이므로, 일반적인 수익률 계산식은:

$$R_1=\frac{110-100}{100}=0.1(10\mathrm{\%})$$

로그 수익률로 계산하면:

$$r_1=\log \left(\frac{110}{100}\right)=\log (1.1)\approx 0.0953$$

3.2 두 번째 기간

두 번째 기간 동안의 수익률도 10%입니다. 일반적인 수익률 계산식은:

$$R_2=\frac{121-110}{110}=0.1(10\mathrm{\%})$$

로그 수익률로 계산하면:

$$r_2=\log \left(\frac{121}{110}\right)=\log (1.1)\approx 0.0953$$

3.3 총 수익률

로그 수익률을 더하면, 2일 동안의 총 로그 수익률은:

$$r_{\text{total}}=r_1+r_2=0.0953+0.0953=0.1906(\text{약}19.06\mathrm{\%})$$

이처럼, 로그 수익률을 더하면 복리 효과가 반영됩니다. 복리 계산에서 곱셈을 하는 대신, 덧셈으로 복리 효과를 처리할 수 있어 매우 유용합니다.

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4. 왜 복리 효과가 중요할까?

복리 효과는 장기 투자에서 자산의 성장을 크게 증가시키는 중요한 요소입니다. 예를 들어, 10%의 수익률이 매년 계속해서 적용된다면, 원금은 매년 증가하고, 수익률이 일정하게 유지되더라도 자산은 기하급수적으로 늘어납니다.

따라서, 로그 수익률을 사용하면 여러 기간에 걸쳐 복리 효과를 자연스럽게 반영하며, 자산 가격이 어떻게 변화할지를 더욱 정확하게 예측하고 분석할 수 있습니다.

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5. 로그 수익률의 장점

• 복리 효과 반영: 로그 수익률은 여러 기간의 수익률을 단순히 더할 수 있어 복리 효과를 쉽게 모델링할 수 있습니다.

• 지수적 변화 처리: 자산 가격이 지수적으로 변화할 때, 로그 수익률은 이를 선형적으로 처리할 수 있어 분석이 용이합니다.

• 리스크 분석에 유용: 로그 수익률을 활용하면 자산의 **리스크(변동성)**를 더 정확하게 분석할 수 있습니다.

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🚀 결론

로그 수익률은 복리 효과를 반영하는 중요한 도구입니다. 복리 계산을 복잡하게 다루지 않고도 여러 기간에 걸쳐 자산 가격 변화의 누적 효과를 쉽게 분석할 수 있기 때문에, 퀀트 투자에서 로그 수익률은 수익률 계산, 리스크 분석, 시계열 예측 등에 필수적인 요소로 자리잡고 있습니다.

로그 수익률을 잘 활용하면 자산 가격의 복리 성장을 자연스럽게 반영하면서, 더 정확하고 신뢰성 있는 예측을 할 수 있습니다. 퀀트 모델링과 투자 전략을 개발할 때 이 개념을 꼭 염두에 두세요!