[알고리즘 트레이딩] 퀀트 트레이딩과 수학: 이론과 실전의 연결고리
퀀트 트레이딩(Quantitative Trading)은 단순한 수학 게임이 아닙니다. 이는 고도의 수학적 이론과 실전 금융 전략이 맞닿아 있는 지점에서 이루어지는 정교한 사고의 예술입니다. 이번 글에서는 경제·금융 수학 명저인 《Mathematics for Economics and Finance》의 Part I 내용을 중심으로, 해당 수학 개념들이 퀀트 트레이딩에 어떻게 직접적으로 활용되는지를 구체적으로 연결해보겠습니다.
📘 책의 구성과 퀀트 트레이딩 연결
Chapter 1~4: 선형대수 - 행렬, 행렬식, 고유값/고유벡터, 이차형식
-
포트폴리오 이론
-
자산 간 상관관계를 공분산 행렬로 표현하며, 이차형식 형태로 리스크를 수식화하여 최소화합니다.
-
-
PCA (주성분 분석)
-
고유값/고유벡터를 활용해 고차원 자산 데이터를 저차원으로 축소합니다.
-
-
시그널 모델링
-
가격, 인디케이터 벡터들의 회귀 분석 등에서 행렬 연산이 핵심이 됩니다.
-
Chapter 5~6: 벡터 공간과 선형 변환
-
Feature Engineering
-
다양한 인디케이터들을 새로운 벡터 공간으로 투영하여 더 유의미한 변수 구성
-
-
모델 해석
-
머신러닝 모델의 입력 공간과 출력 공간 간 관계를 선형 변환 개념으로 해석
-
Chapter 7: 벡터 미적분 기초, 위상수학, 극한과 연속성
-
연속성 / 극한
-
가격 변화에 따른 함수 민감도 분석, 예: 옵션 헷징
-
-
위상수학과 집합
-
이벤트 공간(예: 손익이 일정 이상일 확률) 정의에 필수
-
-
Convex combination
-
자산 배분을 0~1 사이의 가중치 조합으로 수학적으로 표현
-
Chapter 8: 차분 방정식과 동적 모델링
-
시계열 분석
-
AR, MA, ARIMA, GARCH 등은 차분 방정식에 기반한 모델
-
-
전략 구현
-
트레이딩 알고리즘의 상태 전이를 수식으로 표현 가능 (예: 포지션 ON/OFF)
-
Chapter 9: 벡터 미분과 다중 적분
-
Gradient Descent
-
머신러닝 모델 학습 및 최적화에 활용
-
-
최적화 문제
-
기대 수익을 극대화하고 리스크나 수수료를 최소화하는 다변수 함수 최적화
-
-
옵션 가격 모델
-
블랙-숄즈 모델, 감마/델타 계산 등에 미분/적분 필수
-
Chapter 10: 볼록성, 오목성, 최적화와 이중성
-
Convex Optimization
-
포트폴리오 최적화, 자산 배분 등 실전 문제 대부분이 볼록 최적화로 정식화 가능
-
-
제약조건 포함 최적화
-
투자 비율 제한, 기대 수익 조건 등을 고려한 현실적인 모델링
-
-
Lagrange Duality
-
문제를 이중화하여 보다 효율적인 계산 또는 해석 제공
-
🧠 정리: 이론은 실전의 무기다
| 수학 개념 | 퀀트 트레이딩 적용 예시 |
|---|---|
| 행렬/고유값 | 포트폴리오 공분산, PCA |
| 선형 변환 | 특징 변환, 데이터 전처리 |
| 극한/연속성 | 민감도 분석, 수치해석 |
| 차분 방정식 | 시계열 모델, 전략 상태 업데이트 |
| 벡터 미분/적분 | 손익 최적화, 머신러닝 |
| 볼록/오목성 | 제약 최적화, 리스크 조절 |
| 이중성 | 문제 해석 및 대안 해 찾기 |
퀀트 트레이딩은 단순한 프로그래밍이 아닙니다. 이는 수학적 직관과 금융적 사고가 융합되는 분야입니다. 위에서 정리한 수학 개념을 바탕으로, 여러분의 전략이 보다 정교하고 수익성 있게 발전할 수 있기를 바랍니다.
댓글
댓글 쓰기