[수학] 4차원 이상의 벡터는 어떻게 이해할 수 있을까?

우리는 2차원이나 3차원 공간을 눈으로 보고, 손으로 그리며 직관적으로 이해할 수 있습니다. 하지만 차원이 4차원, 10차원, 심지어 1000차원이 되면 시각적으로 그려보는 것이 불가능해지죠.

그렇다면 이런 고차원 벡터의 개념은 어떻게 이해하고 사용할 수 있을까요?
예를 들어, 벡터의 크기(magnitude) 같은 개념은 4차원에서도 동일하게 해석될까요? 이 글에서는 바로 그 질문에 답해보겠습니다.

📐 우리가 잘 아는 벡터의 크기

2차원과 3차원에서 벡터의 크기(또는 길이)는 이렇게 구합니다:

이 식은 바로 우리가 중·고등학교에서 배운 피타고라스의 정리를 기반으로 합니다.

그렇습니다. 4차원 벡터 $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ 의 크기도 다음과 같이 정의합니다:

∥ \vec{v} ∥ = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2​}}

그리고 이 정의는 $n$ 차원으로도 확장할 수 있습니다:

∥ \vec{v} ∥ = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}

이 식은 우리가 익숙한 유클리드 거리(Euclidean distance) 또는 **L² 노름(norm)**의 일반화된 형태입니다.

좋은 질문입니다. 사실 4차원 이상의 공간은 우리의 직관으로는 도저히 그려지지 않기 때문에 오직 수학적 정의와 논리에 의존할 수밖에 없습니다.

수학에서는 고차원 공간도 다음 조건들을 만족하면 벡터 공간(Vector Space) 으로 인정합니다:

즉, 2D나 3D에서의 연산 법칙이 일관되게 확장되기 때문에, 비록 상상할 수는 없어도 수학적으로 정확하게 다룰 수 있습니다.

예를 들어, **자연어 처리(NLP)**에서는 단어를 300차원 벡터로 표현하기도 하고, 머신러닝에서는 수천 개의 특성을 가진 벡터를 다룹니다. 이때 벡터 간 유사성, 거리, 정사영 등을 계산하기 위해 바로 이런 개념들이 활용됩니다.

수학은 눈으로 볼 수 있는 세계를 넘어서서, 우리가 상상할 수 없는 차원까지 확장해 나갑니다.
직관은 사라져도, 논리와 정의는 변하지 않습니다.

그러므로 4차원 이상의 벡터의 크기 역시 우리가 아는 방식 그대로, 공식으로 정확히 계산할 수 있는 것이죠.