[알고리즘 트레이딩] 자산 가격이 로그 정규 분포를 따른다면?

 

📈 자산 가격이 로그 정규 분포를 따른다면, 매수/매도 전략은 어떻게 달라질까?

금융 시장에서는 자산 가격의 움직임을 수학적으로 설명하려는 다양한 시도가 있었습니다. 그중 하나가 **"자산 가격은 로그 정규 분포(log-normal distribution)를 따른다"**는 가정입니다. 이 가정은 단순한 이론이 아니라, 우리가 실제로 어떻게 사고팔 것인가에 대한 전략에도 깊은 영향을 줍니다.

이번 글에서는 로그 정규 분포가 무엇인지, 이 분포를 따를 때 매수/매도 관점에서 무엇을 예측하고 어떻게 대응할 수 있는지를 정리해보겠습니다.


🔍 로그 정규 분포란 무엇인가?

간단히 말해, 어떤 값의 '로그값'이 정규분포를 따른다면, 그 원래 값은 로그 정규 분포를 따른다고 합니다.
이것이 자산 가격에 적용되면, **“가격의 로그 수익률(log return)은 정규 분포를 따른다”**는 의미가 됩니다.

즉,

  • 자산 가격 자체는 로그 정규 분포를 따르고

  • 수익률(특히 로그 수익률)은 정규 분포를 따른다고 보는 것입니다.

이러한 성질을 기반으로, 투자 전략을 수립할 때 다음과 같은 4가지 실용적인 통찰을 얻을 수 있습니다.


✅ 1. 리스크 측정이 가능해진다 (VaR, 손실 확률 등)

로그 정규 분포를 따른다는 가정 덕분에, 우리는 수익률을 정규 분포로 보고 손실 확률, 예상 최대 손실(VaR), 기대 수익률 등을 수학적으로 계산할 수 있습니다.

예를 들어:

“현재 수익률의 평균이 0.2%, 표준편차가 2%라면, 하루 안에 -4% 이상 손실을 입을 확률은 약 2.3%다.”

👉 이렇게 정량적으로 리스크를 계산할 수 있기 때문에 포트폴리오 관리자금 배분에도 큰 도움이 됩니다.


✅ 2. 손절/익절 전략을 비대칭으로 설정할 수 있다

로그 정규 분포는 아래쪽 꼬리가 짧고, 위쪽 꼬리가 긴 비대칭 분포입니다. 이는 자산 가격이 0 이하로는 떨어질 수 없지만, 이론적으로는 무한히 상승할 수 있음을 의미합니다.

이 특성을 이용하면 다음과 같은 전략이 설득력을 가집니다:

작게 잃고 크게 먹는다.
예: 손절 -3%, 익절 +9% 설정

👉 즉, 손실은 제한하고 수익은 길게 가져가는 비대칭 트레이딩 전략이 통계적으로 정당화됩니다.


✅ 3. 미래 가격 경로를 시뮬레이션할 수 있다

로그 정규 분포는 수학적으로 다루기 쉬운 분포입니다. 따라서 이를 기반으로 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 미래의 가격 경로를 수천 개 만들어볼 수 있습니다.

예를 들어:

“현재 가격과 변동성을 기준으로 30일 후 가격이 20% 이상 상승할 확률은 약 7.8%입니다.”

👉 이처럼 투자 시나리오별 확률을 계산하면 전략적 진입/청산 시점을 판단하는 데 유리합니다.


✅ 4. 지금 가격이 분포의 어디쯤인지 판단할 수 있다

로그 정규 분포의 분위수(quantile)를 활용하면 **현재 가격이 '싸다 vs 비싸다'**를 통계적으로 판단할 수 있습니다.

예를 들어:

“현재 가격이 로그 정규 분포상 10% 분위수에 있다면, 가격이 상당히 저평가된 상태일 수 있다.”

👉 이를 기반으로 평균 회귀 전략이나 분포 기반 매매 전략을 적용할 수 있습니다. 예:

  • 하위 20% 분위수 → 매수 시점

  • 상위 80% 분위수 → 매도 시점


💡 정리: 로그 정규 분포 기반 매매 전략 핵심 요약

전략 요소설명
리스크 평가수익률 분포를 정규 분포로 보고 VaR, 손실 확률 계산 가능
손절/익절 전략손절은 짧게, 익절은 길게 (비대칭 전략이 통계적으로 유리함)
미래 시뮬레이션가격 변동성 기반으로 다양한 시나리오의 가격 경로를 예측 가능
평균 회귀 매매현재 가격이 분포에서 낮은 분위수라면 매수, 높은 분위수면 매도 고려 가능

🧠 마무리: 통계적 사고를 갖춘 트레이더가 되기 위한 첫걸음

자산 가격이 로그 정규 분포를 따른다는 단순한 가정 하나로도, 우리는 훨씬 정교한 매매 전략을 구사할 수 있습니다. 단순한 차트 분석을 넘어, 수학적 통찰을 활용한 전략을 세우는 것은 퀀트 투자의 핵심이며, 점점 더 많은 투자자들이 이 영역으로 진입하고 있습니다.

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