[수학] 중심극한정리(CLT): 모집단이 정규분포가 아니어도 평균은 정규분포를 따른다?

5월 30, 2025

중심극한정리(CLT): 모집단이 정규분포가 아니어도 평균은 정규분포를 따른다?

많은 사람들이 처음 중심극한정리(Central Limit Theorem, CLT)를 접할 때 드는 질문이 있습니다.

"모집단이 정규분포가 아니어도 정규분포가 되나요?"

놀랍게도 정답은 YES!
바로 이 점이 중심극한정리가 통계학과 데이터 과학에서 가장 강력한 법칙 중 하나인 이유입니다.

1. 중심극한정리란?

중심극한정리(CLT)는 다음과 같이 말합니다:

어떤 분포에서 표본을 추출하더라도, 표본의 평균은 충분히 많은 표본을 모으면 정규분포에 가까워진다.

수식으로 표현하면 다음과 같습니다:

\lim_{n \to \infty} P (\frac{{\overset{ˉ}{X}}_{n} - μ}{σ / \sqrt{n}} \leq x) = Φ (x)

여기서:

$\bar{X}_n$ : 크기 $n$ 인 표본 평균
$\mu$ : 모집단 평균
$\sigma$ : 모집단 표준편차
$\Phi(x)$ : 평균 0, 분산 1인 표준 정규분포의 누적분포함수(CDF)

이 수식은 다음을 의미합니다:

표본 평균을 표준화하면, $n$ 이 커질수록 그 분포는 정규분포 $\mathcal{N}(0,1)$ 로 수렴한다.

2. 왜 부등호가 들어가 있을까?

중심극한정리는 단순한 함수 수렴이 아니라 확률 분포의 수렴을 말합니다.
그래서 수식 안에는 누적 확률을 나타내는 부등호가 필수적으로 포함되어 있습니다:

P (\frac{{\overset{ˉ}{X}}_{n} - μ}{σ / \sqrt{n}} \leq x)

이 표현은 "정규분포처럼 특정 값 이하가 될 확률"이 어떻게 수렴하는지를 보여줍니다.

3. 시각화로 이해하기

다음은 모집단이 정규분포가 아닌 균등분포일 때도, 표본 평균의 분포가 어떻게 정규분포로 바뀌는지를 보여주는 시각화입니다.

✅ Python 코드 (matplotlib + seaborn)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.font_manager as fm
import seaborn as sns

# 🔹 FontProperties로 한글 폰트 설정
font_path = "C:/Windows/Fonts/malgun.ttf"  # Windows의 맑은 고딕 경로
font_prop = fm.FontProperties(fname=font_path)

# 음수 깨짐 방지
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

sns.set(style="whitegrid")

# 모집단: 균등분포(-3, 3)
population = np.random.uniform(-3, 3, 100000)

# 표본 크기 목록
sample_sizes = [1, 2, 5, 10, 30, 50]

# 시각화
plt.figure(figsize=(15, 10))
for i, n in enumerate(sample_sizes, 1):
    sample_means = [np.mean(np.random.choice(population, n)) for _ in range(1000)]
    plt.subplot(2, 3, i)
    sns.histplot(sample_means, bins=30, kde=True, color='skyblue', stat='density')
    plt.title(f'표본 크기 n = {n}', fontproperties=font_prop)
    plt.xlabel('표본 평균', fontproperties=font_prop)
    plt.ylabel('밀도', fontproperties=font_prop)

plt.tight_layout()
plt.suptitle("중심극한정리 시각화: 모집단은 균등분포", fontsize=16, y=1.02, fontproperties=font_prop)
plt.show()

4. 결과 해석

n=1일 때는 분포가 모집단과 유사한 비대칭 분포입니다.
n=5, 10쯤 되면 종 모양이 슬슬 나타나기 시작하고,
n=30 이상이면 거의 정규분포처럼 보입니다!

즉, 모집단이 정규분포가 아니어도, 표본 평균은 점점 정규분포로 수렴합니다.
이것이 중심극한정리의 위대함입니다.

5. 요약

핵심 질문	답변
모집단이 정규분포가 아니어도 CLT가 적용되나요?	네! 표본 수만 충분히 크면 됩니다.
왜 수식에 부등호가 들어가나요?	누적 확률(P)의 수렴을 표현하기 때문입니다.
얼마나 큰 n이 필요하나요?	일반적으로 n ≥ 30이면 충분하다고 봅니다. (하지만 분포에 따라 다를 수 있음)

👋 마무리

중심극한정리는 단순한 수학 정리가 아니라, 실제 데이터 분석에서 평균을 믿고 활용할 수 있는 강력한 근거입니다.
정규분포가 아닌 데이터라도, 평균만 잘 모으면 정규분포처럼 다룰 수 있다!
이 개념을 이해하면, 통계는 훨씬 덜 두려워지고 더 강력한 도구가 됩니다.

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