[알고리즘 트레이딩] 주가는 로그정규분포? 로그수익률은 정규분포?

6월 02, 2025

📊 주가는 로그정규분포? 로그수익률은 정규분포? 쉽게 정리해드립니다

주식 투자나 퀀트 모델링을 공부하다 보면 꼭 마주치는 말이 하나 있습니다.

“주가는 로그정규분포를 따르고, 로그수익률은 정규분포를 따른다”

이 말은 도대체 무슨 뜻일까요? 그리고 왜 이렇게 가정하는 걸까요?
이번 글에서는 이 문장을 처음 접하는 분도 이해할 수 있도록 쉽게 설명해보겠습니다.

1️⃣ 주가의 수학적 모델링: 왜 로그를 쓰는가?

우리는 일반적으로 주가 $P_t$ 가 시간에 따라 무작위로 움직인다고 생각합니다.
이를 수학적으로 표현하면 다음과 같은 지수 모델을 사용합니다:

P_{t} = P_{0} \cdot e^{r t + σ W_{t​}}

여기서

$P_0$ : 초기 주가
$r$ : 평균 수익률
$\sigma$ : 변동성
$W_t$ : 시간에 따라 누적되는 무작위 요소 (브라운 운동)

이 수식은 "주가는 지수적으로 움직인다"는 걸 의미합니다.
즉, 수익이 복리로 누적된다는 가정입니다.

2️⃣ 로그를 취하면? → 정규분포!

위 식에 로그를 취하면:

\ln P_{t} = \ln P_{0} + r t + σ W_{t​}

이제 보세요.
오른쪽은 선형적이고, 무작위 요소 $W_t$ 는 정규분포를 따릅니다.
즉, $\ln P_t$ 자체가 정규분포를 따른다는 뜻입니다.

그리고 중요한 사실!

$\ln P_t$ 가 정규분포를 따른다면,
$P_t$ 는 로그정규분포를 따르게 됩니다.

P_{t} \sim LogNormal (μ, σ^{2})​

3️⃣ 로그정규분포는 어떤 분포일까?

로그정규분포는 다음과 같은 특징이 있습니다:

항상 0보다 큼 (주가가 음수가 될 수 없다는 현실을 반영)
오른쪽 꼬리가 길고 비대칭적 (급등의 가능성을 내포)
로그를 취하면 정규분포가 됨

4️⃣ 로그수익률은 왜 정규분포를 따를까?

로그수익률은 이렇게 정의됩니다:

r_{t} = \ln (\frac{P_{t}}{P_{t - 1}}) = \ln P_{t} - \ln P_{t - 1​}

즉, 정규분포를 따르는 로그 주가 간의 차이입니다.
정규분포끼리의 차이 역시 정규분포입니다.

결국,

r_{t} = \ln (P_{t} / P_{t - 1}) \sim N (μ, σ^{2})​

이렇게 로그수익률은 평균 중심의 대칭 분포를 가지며, 수학적으로도 다루기 쉬운 정규분포가 됩니다.

5️⃣ 왜 이런 가정을 쓰는 걸까?

이 가정은 현실적인 이유와 수학적인 이유가 모두 있습니다.

이유	설명
현실 반영	주가는 절대 음수가 될 수 없음 → 로그정규분포 적합
수학적 편리함	로그수익률이 정규분포면 수식이 간단해지고, 확률 계산이 쉬워짐
금융 모델링	블랙-숄즈 옵션 가격 모델도 이 가정을 기반으로 작동

🧠 마무리 요약

주가 $P_t$ : 로그정규분포를 따름
→ 항상 0보다 크고, 비대칭적
로그수익률 $\ln(P_t / P_{t-1})$ : 정규분포를 따름
→ 평균 중심으로 대칭적, 수학적으로 분석 용이

📌 참고: 이 가정은 완벽하지 않습니다

실제 시장은 급락, 변동성 군집, 비대칭 꼬리 등 정규분포보다 더 복잡합니다.
그래서 이 기본 가정 위에 GARCH, 확률적 변동성, 극단값 이론 등의 보완 모델이 개발된 것이죠.

하지만 기초 모델링을 배우거나 퀀트 투자의 첫 단계를 배우는 데 있어
“주가는 로그정규, 로그수익률은 정규”라는 가정은 매우 강력하고 유용합니다.

🔍 원문 다시 보기

“오른쪽은 선형적이고, 무작위 요소 $W_t$ 는 정규분포를 따릅니다.”

이 문장은 아래 수식과 관련이 있습니다:

\ln P_{t} = \ln P_{0} + r t + σ W_{t​}

💡 하나씩 해석해봅시다

1. "오른쪽은 선형적이고"란?

오른쪽은 세 개의 항으로 되어 있습니다:

$\ln P_0$ : 초기 주가의 로그값 → 상수 (시간 t와 무관)
$rt$ : 평균 수익률 $r$ 에 시간 $t$ 를 곱한 것 → 선형적으로 증가함
$\sigma W_t$ : 무작위성(랜덤성)을 나타내는 항 → 시간에 따라 확산되는 노이즈

➡️ 따라서 전체적으로 보면:

평균적으로는 $rt$ 때문에 직선처럼 올라감 (선형적),
하지만 거기에 $\sigma W_t$ 가 더해져서 불규칙하게 흔들리는 형태가 되는 거예요.

2. $W_t$ 는 무엇인가?

$W_t$ 는 표준 브라운 운동 (standard Brownian motion) 이라고 부릅니다.

평균: 0
분산: 시간 $t$ 에 비례
즉, $W_t \sim N(0, t)$ → 정규분포

➡️ 그러므로 $\sigma W_t \sim N(0, \sigma^2 t)$
즉, 여전히 정규분포를 따르지만, 시간이 갈수록 퍼지는 정도(분산)가 커집니다.

🎯 결론 요약

$\ln P_t$ 식은 선형적 경향성(rt) + 랜덤 요인( $\sigma W_t$ ) 으로 구성
$W_t$ 는 시간에 따라 확산되는 정규분포 기반의 랜덤 값
따라서 전체 로그 주가 $\ln P_t$ 도 정규분포를 따르게 되고,
그 결과, 주가 $P_t$ 는 로그정규분포를 따르게 되는 것입니다.

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