[트레이딩] 상대적 재산 증가율 식 모델링 과정

6월 04, 2025

💡 상대적 재산 증가율과 로그 효용 함수는 어떻게 유도되었을까?

우리가 경제적 의사결정 모델에서 자주 접하는 식 중 하나가 다음과 같은 로그 형태의 효용 함수입니다:

U (w + x) = \log (\frac{w + x}{w}) = \log (1 + \frac{x}{w})

이 수식은 단순히 어떤 '편리한 형태'로 도입된 것이 아닙니다. 실제로는 인간의 의사결정과 장기 생존 전략을 설명하기 위해 여러 학문적 배경과 모델링 과정을 거쳐 도출된 결과입니다. 이 글에서는 그 과정을 하나씩 짚어보겠습니다.

1. 💭 인간의 의사결정은 절대값이 아니라 '비율'을 본다

경제학자들과 심리학자들은 오래전부터 한 가지 의문을 가졌습니다.

"왜 사람들은 같은 1,000원을 얻는 것에도 상황에 따라 다른 가치를 부여할까?"

이 질문에 대한 초기 답변은 효용(utility)의 체감입니다. 재산이 늘어날수록 추가 1원의 가치가 점점 줄어들기 때문에, 절대 수익보다는 상대 수익률이 실제 만족도에 더 영향을 미친다는 가설이 세워졌습니다.

예:

1,000원이 전 재산의 100%일 땐 매우 크지만,
1억 원 중의 1,000원은 거의 무시됩니다.

이 관점을 수학적으로 표현하면 아래와 같이 됩니다:

상대 재산 증가율 = \frac{w + x}{w​}

이때 이 비율의 자연로그를 취하면 상대적 효용 증가를 측정하는 지표가 됩니다:

\log (\frac{w + x}{w}) = \log (1 + \frac{x}{w})

이것이 로그 효용 함수의 기초 형태입니다.

2. 📜 역사적 배경: 베르누이와 로그 효용의 탄생

이 개념은 18세기 수학자 **다니엘 베르누이(Daniel Bernoulli)**로 거슬러 올라갑니다. 그는 ‘상페테르부르크 역설(Saint Petersburg paradox)’을 설명하기 위해 로그 함수 형태의 효용 함수를 제안했습니다.

그는 “돈의 효용은 금액의 로그에 비례한다”고 주장했습니다.
즉, 효용 함수 $U(w) = \log(w)$ 를 제안한 최초의 학자입니다.

이는 단지 이론이 아니라 실제 인간 심리와도 일치하는 형태였고, 이후 경제학자들은 이를 기반으로 위험 회피(risk aversion) 현상까지 설명하게 됩니다.

3. 🔁 반복적 의사결정과 Kelly 기준

로그 효용 함수가 더 강력한 설득력을 갖게 된 계기는 반복 게임과 장기 생존 전략에서였습니다.

Kelly Criterion(켈리 공식)은 “어떻게 도박에서 장기적으로 재산을 불리지?”라는 질문에 대한 수학적 답입니다.
여기서도 **기하평균(log 수익률의 평균)**이 중심 개념입니다:

\max E [\log (w + x)]

즉, 단기적인 기대 수익이 아닌, 장기적인 생존 가능성과 복리 수익률을 고려한 의사결정 모델입니다.

👉 이때도 등장하는 함수가 바로 로그 함수이며, 그 핵심은 동일합니다:

\log (\frac{w + x}{w})

4. 🎯 왜 로그인가? (수학적 특징)

로그 함수는 다음과 같은 점에서 의사결정 모델링에 적합합니다:

특성	설명
체감 증가	재산이 커질수록 효용은 느리게 증가
기하 평균과 일치	반복 의사결정에서 실제 성장률과 동일
위험 회피 반영	큰 손실에 대한 강한 회피 성향 표현 가능
비율적 사고	인간이 실제로 따르는 판단 방식 반영

✅ 정리

“로그 형태의 상대 재산 증가율”은 단순한 수학적 변형이 아니라,

인간의 심리,
반복적인 현실 선택 구조,
장기 생존 전략

이 세 가지가 결합되어 자연스럽게 도출된 결과입니다.

📌 우리가 로그 효용 함수 $\log((w + x)/w)$ 를 쓰는 이유는,
단지 수학적으로 깔끔해서가 아니라,
실제 인간이 그렇게 사고하고 살아가기 때문입니다.

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