[투자] 연속 복리 수익률이란?

 

📘 연속 복리 수익률이란?

퀀트 투자와 금융공학이 사랑하는 수익률 계산 방식

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📌 투자 수익률, 단순히 "몇 %"로 설명할 수 있을까?

우리는 흔히 "이번 주식 투자로 10% 벌었어!" 같은 말을 하곤 합니다.
이때 사용하는 수익률은 대부분 **단순 수익률 (simple return)**입니다. 계산도 쉽고 직관적이죠.

하지만 투자 시계열 분석, 장기 포트폴리오 관리, 금융공학 등 수학적 정확성과 계산의 편의성이 중요한 분야에서는 연속 복리 수익률 (Continuously Compounded Return), 즉 로그 수익률이 훨씬 더 강력한 도구로 쓰입니다.

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🔎 연속 복리 수익률이란?

🧮 정의

연속 복리 수익률은 다음과 같이 정의됩니다:

$$r=\ln (1+R)=\ln \left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right)=\ln (P_t)-\ln (P_{t-1})$$

• $R$: 단순 수익률

• $P_t$: 현재 가격

• $P_{t-1}$: 이전 가격

즉, 수익률을 로그로 변환하여 표현한 값이며, 수익률이 시간이 지나면서 연속적으로 복리로 쌓이는 효과를 수학적으로 표현한 방식입니다.

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✅ 왜 연속 복리 수익률을 사용할까?

1. 기간 수익률을 더하기만 하면 누적 가능

$$r_{\text{total}}=r_1+r_2+\cdots +r_{\mathrm{n}}$$

• 로그 수익률은 단순히 더하면 누적 수익률이 계산됨

• 반면 단순 수익률은 $(1 + R_1)(1 + R_2) \cdots - 1$ 식처럼 곱해야 함

2. 정규분포로 모델링하기 좋음

• 로그 수익률은 대체로 정규분포에 가까운 형태를 띠기 때문에, 통계 분석이나 리스크 모델링에 유리

3. 금융공학과 수학 모델에 최적화

• 블랙-숄즈 옵션 가격 모형 등에서는 로그 수익률이 기본 단위

• 도함수, 적분, 확률분포 등 수학적 처리가 쉬움

4. 위험관리 및 포트폴리오 분석에 유리

• Value at Risk (VaR), 샤프지수, 기대수익률 등을 더 정밀하게 계산할 수 있음

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📊 예시: 단순 수익률 vs 로그 수익률

구간	단순 수익률	로그 수익률
$100 → $110	10%	ln(110/100) ≈ 9.53%
$110 → $121	10%	ln(121/110) ≈ 9.09%
전체 ($100 → $121)	21%	ln(121/100) ≈ 19.0%
로그 수익률 누적	-	9.53% + 9.09% ≈ 18.62%

• 단순 수익률은 곱해서 누적해야 하지만

• 로그 수익률은 합산만으로 누적 가능하여 수학적으로 편리합니다

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📉 예외: 언제 단순 수익률이 더 나을까?

구분	단순 수익률이 유리한 경우
✅ 일반 투자 보고	"이번 달 5% 올랐어요!"
✅ 단기 성과 평가	복리 효과가 거의 없을 때
✅ 투자자 설명	로그보다 직관적임

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📌 요약: 어떤 수익률을 언제 쓸까?

항목	단순 수익률	연속 복리 수익률 (로그 수익률)
계산 방식	$(P_t / P_{t-1}) - 1$	$\ln(P_t / P_{t-1})$
누적 방법	곱셈	덧셈
직관성	높음	낮음
수학적 편의성	낮음	높음
분포 가정	제약 있음	정규분포 가정 자연스러움
사용 예	투자 성과 보고서	퀀트 분석, 금융공학, 리스크 관리

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🧪 마무리: 어떤 수익률이 '진짜'일까?

• 단순 수익률은 보기 좋고 설명하기 쉬운 수치

• 로그 수익률은 계산하기 좋고, 시간 흐름에 따른 누적을 다루기 적합

👉 실전에서는 두 수익률을 상황에 따라 적절히 사용하는 것이 중요합니다.

장기적이고 수학적인 분석엔 로그 수익률을,
짧은 기간 투자성과를 보여줄 땐 단순 수익률을 활용하세요!