[주식] 왜 주식 가격은 로그정규분포를 따를까?

 

💹 왜 주식 가격은 로그정규분포를 따를까?

주식 투자나 금융공학을 공부하다 보면 자주 듣게 되는 말이 있습니다.

"주식 가격은 로그정규분포(lognormal distribution)를 따른다."

하지만 왜 하필 로그정규분포일까요?
왜 정규분포(normal distribution)가 아니라 로그정규분포일까요?

이번 글에서는 이 질문에 대해 쉽고 직관적으로 설명해보겠습니다.

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📌 먼저, 로그정규분포란?

로그정규분포란 말 그대로, 로그를 취하면 정규분포가 되는 분포를 말합니다.

즉, 어떤 확률 변수 $X$가 로그정규분포를 따른다는 것은:

$$\log (X)\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$$

다시 말해, $X$ 자체는 비대칭적인 분포를 가지지만, $\log(X)$는 대칭적인 정규분포를 따릅니다.

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💡 핵심 개념: 수익률(Return)은 정규분포, 가격(Price)은 로그정규분포

주식 시장에서는 가격 그 자체보다는 수익률(%), 즉 변화량이 더 중요합니다.

• 로그 수익률(log return):

  $$r=\log \left(\frac{P_t}{P_0}\right)$$

  이 수익률은 여러 장점 때문에 금융 수학에서 자주 사용되며, 정규분포를 따른다고 가정합니다.

• 그렇다면 주식 가격은?

  $$P_t=P_0\cdot e^r$$

  수익률 $r$이 정규분포라면, 가격 $P_t$는 지수 함수 형태, 즉 로그정규분포를 따릅니다.

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📈 왜 정규분포가 아니라 로그정규분포인가?

✅ 1. 음수 가격은 존재할 수 없다

정규분포는 -∞부터 +∞까지 모든 실수 값을 가질 수 있습니다. 하지만 주식 가격은 절대 0보다 작을 수 없습니다.

즉, 정규분포로는 가격을 설명할 수 없습니다.
반면, 로그정규분포는 항상 양수입니다 → 적절한 모델

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✅ 2. 복리(compounding)와 관련이 깊다

주식 가격은 시간에 따라 누적 수익률에 의해 변화합니다.
수익률이 일정 간격마다 복리로 누적되면, 이는 곧 지수 함수적 증가/감소를 의미합니다.

• 예: 매일 1% 상승 → 100원 → 101원 → 102.01원 → ...

• 이처럼 수익률은 정규분포, 가격은 지수 함수 → 로그정규분포

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✅ 3. 실제 시장 데이터와도 잘 맞는다

실제 주식 시장의 데이터를 보면 가격 분포는 종 모양이 아니라, 오른쪽으로 긴 꼬리를 가진 비대칭 분포를 보입니다.
이는 로그정규분포의 대표적인 특징입니다.

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🧮 수학적으로는 이렇게 설명할 수 있어요

1. 로그 수익률 $r = \log(P_t / P_0) \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$
   

2. 양변에 지수(exp) 함수 취하면

   $$P_t=P_0\cdot e^r$$

3. 즉, $P_t$는 로그정규분포를 따르게 됩니다.

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🧠 요약하면

구분	분포 형태	이유
수익률	정규분포	시간에 따라 독립적인 변동성, 대칭적
가격	로그정규분포	음수가 될 수 없고, 누적 효과(복리)
로그(가격)	정규분포	로그 변환 후 수익률처럼 취급 가능

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✍️ 마무리: 왜 중요할까?

금융 모델링이나 옵션 가격 결정 모형(예: 블랙-숄즈 모델)에서는 자산 가격이 로그정규분포를 따른다는 가정을 자주 사용합니다.

이를 이해하고 있으면:

• 수익률 계산, 위험 분석, 포트폴리오 시뮬레이션 등에 적용할 수 있고

• 데이터가 왜 그렇게 움직이는지 직관적 이해가 가능합니다.