[투자] 수익률의 두 얼굴: 산술 평균 vs. 기하 평균 수익률

 

🧠 퀀트의 심층 분석

수익률의 두 얼굴: 산술 평균 vs. 기하 평균 수익률

(수식 유도와 변동성의 비밀)

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안녕하세요, 숫자로 투자 성과를 탐구하는 퀀트 여러분!

오늘은 투자 수익률을 분석할 때 자주 혼동되는 두 가지 핵심 개념인
산술 평균 수익률과 기하 평균 수익률의 차이,
그리고 이 둘을 갈라놓는 핵심 요인인 **변동성(Volatility)**의 역할에 대해
수식과 함께 명확히 분석해 보겠습니다.

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✅ 1. 복리 성장의 본질: 기하 평균 수익률

투자 성과의 핵심은 바로 **복리(compounding)**입니다. 초기 투자금 $S_0$이 매년 일정 수익률 $G$로 성장한다면, N년 후 자산 가치는 다음과 같이 계산됩니다:

$$S_N=S_0\cdot (1+G{)}^N$$

이를 $G$에 대해 정리하면 기하 평균 수익률은 다음과 같이 계산됩니다:

$$G={\left(\frac{S_N}{S_0}\right)}^{\frac{1}{N}}-1$$

이 $G$는 실제로 여러분의 자산이 얼마나 성장했는지를 나타내는 복리 기반 실현 수익률입니다.

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✅ 2. 익숙한 계산 방식: 산술 평균 수익률

수익률 $r_1, r_2, \dots, r_N$이 있을 때, 가장 흔히 쓰는 평균은 다음과 같습니다:

$$A=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{r}_{\mathrm{i}}$$

이것이 바로 산술 평균 수익률입니다.
간단하고 직관적이지만, 복리 효과와 수익률의 분산을 반영하지 못한다는 한계가 있습니다.

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✅ 3. 두 평균의 관계: 기하 평균 < 산술 평균

퀀트가 반드시 기억해야 할 근사식:

$$G\approx A-\frac{1}{2}{\sigma }^2$$

여기서:

• $A$: 산술 평균 수익률

• $G$: 기하 평균 수익률

• $\sigma^2$: 수익률의 분산 (volatility squared)

즉, 변동성이 존재하는 한,
산술 평균은 항상 기하 평균보다 크거나 같다는 사실입니다.
이것이 바로 **변동성의 저주 (Volatility Drag)**입니다.

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✅ 4. 왜 그런가요? 수식으로 유도해봅시다

🧮 로그 수익률 근사

기하 평균은 사실 로그 수익률의 평균과 밀접한 관계가 있습니다.
수익률 $r_i$가 작다고 가정하면, 로그 수익률은 다음처럼 근사됩니다:

$$\ln (1+r_i)\approx r_i-\frac{1}{2}{r}_i^{\mathrm{2}}$$

🔁 전체 기간에 대해 평균을 취하면?

위 근사식을 각 기간 $i = 1, 2, ..., N$에 대해 적용하고, 평균을 구합니다:

$$\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\ln (1+r_i)\approx \frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(r_i-\frac{1}{2}{r}_i^2)$$

➡️ 왼쪽 항: 로그 수익률의 평균 → $\ln(1 + G)$
➡️ 오른쪽 항: 산술 평균 수익률과 수익률 제곱 평균

$$\ln (1+G)\approx A-\frac{1}{2}E[r^2]$$

여기서

• $E[r^2] \approx \sigma^2 + A^2$
  

• 따라서:

$$\ln (1+G)\approx A-\frac{1}{2}({\sigma }^2+A^2)$$

G가 작다고 가정하면:

$$\ln (1+G)\approx G-\frac{G^2}{2}\approx G$$

그래서 최종적으로:

$$G\approx A-\frac{1}{2}{\sigma }^2$$

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✅ 5. 예제: 산술 평균과 기하 평균의 차이

구분	1년차	2년차
수익률	+100%	-50%

• 산술 평균 수익률:

  $$A=\frac{1+(-0.5)}{2}=0.25=25\mathrm{\%}$$

• 자산 흐름:
  100 → 200 → 100 (복귀)

• 기하 평균 수익률:

  $$G={\left(\frac{100}{100}\right)}^{1\mathrm{/}2}-1=0\mathrm{\%}$$

👉 산술 평균은 25%인데, 실제 수익률은 0%!
이 차이는 변동성이 큰 경우 산술 평균이 실제 수익을 과대평가할 수 있음을 보여줍니다.

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✅ 6. 퀀트의 실전 응용

상황	사용 지표	이유
장기 성장 평가	기하 평균	실제 복리 수익률 반영
변동성 관리	$\sigma^2$	수익률 하락 리스크 반영
전략 백테스트	기하 평균	과대평가 방지

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🧭 결론: 진짜 수익률을 보는 법

산술 평균은 보기에는 좋지만,
기하 평균은 실제로 당신의 자산이 얼마만큼 복리로 성장했는지를 보여줍니다.

퀀트라면 반드시 다음과 같은 질문을 던져야 합니다:

1. “실제 복리 수익률은 얼마인가?” → $G$
   

2. “수익률의 변동성은 수익에 어떤 영향을 미쳤는가?” → $\sigma^2$
   

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✅ 요약 표

항목	산술 평균 $A$	기하 평균 $G$
정의	수익률의 단순 평균	복리 성장률
계산	$A = \frac{1}{N} \sum r_i$	$G = \left( \frac{S_N}{S_0} \right)^{1/N} - 1$
변동성 반영	❌ 없음	✅ 있음
일반 관계	$A \ge G$
실전 사용	단기 기대 수익	장기 실현 수익