[트레이딩] KT 기대값(산술 기대값)과 로그 기대값(복리 관점)의 차이

6월 04, 2025

🧠 사람은 왜 확실한 선택을 선호할까?

기대값과 로그 기대값의 차이로 보는 투자 심리학

1979년, 노벨 경제학상 수상자인 Daniel Kahneman과 심리학자 Amos Tversky는 심리학 실험을 통해 사람들의 의사결정이 얼마나 비합리적일 수 있는지를 보여줬습니다.
그들의 논문 ["Prospect Theory: Decision Making under Uncertainty"]는 오늘날 행동경제학의 출발점이 되었죠.

🎲 문제: 당신이라면 어떤 선택을 하시겠습니까?

두 가지 선택지가 있습니다:

Gamble A

결과	확률
2,500원	33%
2,400원	66%
0원	1%

Gamble B

결과	확률
2,400원	100%

실험 참가자들에게 위 두 선택지 중 하나를 고르도록 했습니다.

📈 산술 기대값 (KT 기대값)

먼저 확률에 따라 곱해서 더해봅시다.

Gamble A의 기대값:
$0.33 \times 2500 + 0.66 \times 2400 + 0.01 \times 0 = 825 + 1584 + 0 = 2, 409$
Gamble B의 기대값:
$1.00 \times 2400 = 2, 400$

❗ 즉, Gamble A가 기대값이 더 높습니다. 수학적으로는 A가 ‘합리적인 선택’이 되어야 합니다.

🧑 그런데 사람들은?

놀랍게도, 실험 결과는 이랬습니다:

선택	선택 비율
Gamble A	18%
Gamble B	82%

🙄 왜 대부분의 사람들은 기대값이 더 낮은 Gamble B를 택했을까요?

🔍 로그 기대값(Log Utility)으로 다시 보기

기대값만으로는 사람의 심리적 가치 판단을 설명하기 어렵습니다.
그래서 로그 기대값(Logarithmic Expectation), 즉 복리 관점의 기대값을 도입하면 훨씬 더 설득력 있는 설명이 됩니다.

📊 로그 기대값이란?

로그 기대값은 **“현재 자산에 비해 수익이 얼마나 의미 있는가”**를 따지는 관점입니다.

수식:

U = \sum_{i} p_{i} \cdot \log (\frac{w + x_{i}}{w})

$w$ : 현재 자산 (예: 학생의 여윳돈 100달러)
$x_i$ : 수익
$p_i$ : 각 수익이 나올 확률

이 수치는 장기적으로 복리 수익률을 최대화하는 관점에서 의미가 있습니다.

💡 로그 기대값 계산 결과 (예시: w = 100달러)

선택	KT 기대값	로그 기대값	선택 비율
Gamble A	2,409	3.20	18%
Gamble B	2,400	3.22	82%

➡ 로그 기대값 기준으로 보면, 확실하게 2,400원을 얻는 Gamble B가 더 좋습니다!
사람들의 선택은 로그 기대값 기준에서는 합리적이었던 것입니다.

🧠 왜 로그 기대값이 더 현실적인가?

복리적 사고:
실제 투자는 단발성보다 누적 수익(compound return)이 중요합니다. 로그는 이를 잘 반영합니다.
리스크 민감도 반영:
자산이 적을수록 손실에 대한 반응이 훨씬 큽니다. 로그 함수는 자산이 작을수록 더 민감하게 반응하므로, 위험 회피 성향을 반영합니다.
경제적 현실성:
대학생에게 2,400원은 주말 피자+맥주 비용일 수 있습니다. 이 돈을 1% 확률로 잃을 가능성은 그들에겐 무시할 수 없는 리스크죠.

✍️ 정리

구분	산술 기대값 (KT)	로그 기대값
기준	단순 평균 수익	자산 대비 상대 가치
리스크 고려	❌ 없음	✅ 있음
투자 적합성	단기적 관점	장기 복리 최적화
인간 심리 반영	❌ 약함	✅ 강함

🔚 결론

사람들이 확실한 선택을 선호하는 이유는 단순히 "비합리적"이어서가 아닙니다.
그들의 의사결정은 오히려 복리 관점, 즉 로그 기대값을 따르는 매우 합리적인 판단일 수 있습니다.

👉 투자에서도 마찬가지입니다. 복리 수익률을 극대화하려면, 단순한 기대값이 아니라 로그 기대값을 고려한 의사결정이 필요합니다.

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